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费马素数

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费马素数是 费马数 F_n=2^(2^n)+1 且为 素数的数。因此，费马素数是 近平方素数。

费马在 1650 年猜想每个 费马数 都是 素数，而艾森斯坦在 1844 年提出一个问题，证明存在无限多个费马素数 (Ribenboim 1996, p. 88)。然而，目前，已确定素性或合性的唯一费马数 F_n（对于 n>=5）都是 合数。

唯一已知的费马素数是

F_0=3
(1)
F_1=5
(2)
F_2=17
(3)
F_3=257
(4)
F_4=65537
(5)

(OEIS A019434)，并且似乎不太可能使用当前的计算方法和硬件找到更多。由此可见，对于特殊情况 n=0 以及费马素数指数，2^n+1 是素数，给出的序列为 2、3、5、17、257 和 65537 (OEIS A092506)。

2^(2^n)+1 是费马素数当且仅当 1/(2^(2^n)+1) 的周期长度等于 2^(2^n)。换句话说，费马素数是 完全循环素数。

另请参阅

可作图多边形, 费马数, 完全循环素数, 广义费马数, 整数序列素数, 梅森素数, 近平方素数, 皮尔庞特素数, 谢尔宾斯基筛, 三角学角度

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参考文献

Ribenboim, P. 素数记录新书。 New York: Springer-Verlag, 1996.Robinson, R. M. "梅森数和费马数。" Proc. Amer. Math. Soc. 5, 842-846, 1954.Sloane, N. J. A. "整数序列在线百科全书"中的序列 A019434 和 A092506。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

费马素数

引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "费马素数。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/FermatPrime.html

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