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十七边形

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Heptadecagon

17 边的正多边形被称为十七边形，或有时称为十七角形。高斯在 1796 年（当时他 19 岁）证明了十七边形可以用圆规和直尺作出。高斯的证明出现在他的巨著《算术研究》中。该证明依赖于不可约多项式方程的性质，即由有限次平方根开方组成的根仅在方程的阶数为形式 2^aF_aF_b...F_s 的乘积时才存在，其中 F_n 是不同的素数，形式为

F_n=2^(2^n)+1,
(1)

被称为费马素数。对于正三角形 (3^1)、正方形 (2^2)、正五边形 (2^(2^1)+1)、正六边形 (2^13^1) 等的作图法，欧几里得已经给出，但是基于费马素数 >=17 的作图法是古代人所未知的。十七边形的第一个显式作图法是由 Erchinger 在大约 1800 年给出的。

三角函数 cos(pi/17) 和 cos(2pi/17) 都是 8 次代数数，分别由下式给出

cos(pi/(17))=(256x^8-128x^7-448x^6+192x^5+240x^4-80x^3-40x^2+8x+1)_8
(2)
cos((2pi)/(17))=(256x^8+128x^7-448x^6-192x^5+240x^4+80x^3-40x^2-8x+1)_8.
(3)

单位边长的十七边形的内切圆半径和外接圆半径由下式给出

r=1/2cot(pi/(17))
(4)
R=1/2csc(pi/(17)),
(5)

两者都可以用有限次开方来表示。它们也可以表示为代数方程的最大根

1-544r^2+38080r^4-792064r^6+6223360r^8-19914752r^(10)+25346048r^(12)-11141120r^(14)+1114112r^(16)
(6)
1-17R^2+119R^4-442R^6+935R^8-1122R^(10)+714R^(12)-204R^(14)+17R^(16).
(7)

正十七边形的面积由下式给出

A=(17)/4cot(pi/(17)),
(8)

其中 A 可以表示为以下代数方程的最大根

2862423051509815793-21552361799603318912A^2+20881180982314634240A^4-6011468019822067712A^6+653743432704327680A^8-28954726431195136A^(10)+510054948143104A^(12)-3103113871360A^(14)+4294967296A^(16).
(9)
17-gonConstruction

以下为十七边形的优雅作图法（Yates 1949，Coxeter 1969，Stewart 1977，Wells 1991），最早由 Richmond (1893) 给出。

1. 给定任意点 O，画一个以 O 为圆心的圆，并画一条穿过 O 的直径。

2. 将圆分成半圆的直径的右端点称为 P_1。

3. 通过找到垂直平分线 OB 作出与原始直径垂直的直径。

4. 作出 J，使其位于 OB 的四分之一处。

5. 连接 JP_1 并找到 E，使得 ∠OJE 是 ∠OJP_1 的四分之一。

6. 找到 F，使得 ∠EJF 为 45 degrees。

7. 作出以 FP_1 为直径的半圆。

8. 此半圆与 OB 相交于 K。

9. 画一个以 E 为圆心，EK 为半径的半圆。

10. 这与线段 OP_1 相交于 N_4。

11. 作一条穿过 N_4 且与 OP_1 垂直的直线。

12. 这条直线与原始半圆相交于 P_4。

13. 现在你有了十七边形的点 P_1 和 P_4。

14. 使用 P_1 和 P_4 通过构造 P_1, P_4, P_7, P_(10), P_(13), P_(16) [实心圆], P_2, P_5, P_8, P_(11), P_(14), P_(17) [单环实心圆], P_3, P_6, P_9, P_(12), 和 P_(15) [双环实心圆] 来获得原始圆周围的十七边形的其余 15 个点。

15. 连接相邻点 P_i，其中 i=1 到 17，形成十七边形。

当适当简化时，此作图法的简易度为 53。Smith (1920) 的作图法具有更高的简易度 58。Tietze (1965) 提出并在 Hall (1970) 中转载的另一种作图法的简易度为 50。然而，Tietze (1965) 和 Hall (1970) 都没有提供证明此作图法正确的证据。Richmond 和 Tietze 的作图法都需要大量的计算来证明其有效性。DeTemple (1991) 给出了一个涉及卡莱尔圆的优雅作图法，其几何作图法符号为 8S_1+4S_2+22C_1+11C_3，简易度为 45。作图问题现在已经在某种程度上实现了自动化（Bishop 1978）。

参见

257 边形, 65537 边形, 圆规, 可作图多边形, 费马数, 费马素数, 正多边形, 直尺, 三角学角, 三角学角--pi/17

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参考文献

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在 Wolfram|Alpha 中被引用

十七边形

请引用为

Weisstein, Eric W. "十七边形。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Heptadecagon.html

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