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Yff 点


YffPoints

设点 A^'B^'C^' 沿边 BCCAAB 以固定距离 x 标记。则直线 AA^'BB^'CC^' 交于一点 U,该点称为第一 Yff 点,如果

 x^3=(a-x)(b-x)(c-x).
(1)

此方程具有唯一的实根 u,可以通过求解三次方程获得

 f(x)=2x^3-px^2+qx-r=0,
(2)

其中

p=a+b+c
(3)
q=ab+ac+bc
(4)
r=abc.
(5)

等角共轭 U^' 称为第二 Yff 点。第一点和第二点的三角形中心函数由下式给出

 alpha=1/a((c-u)/(b-u))^(1/3)
(6)

 alpha^'=1/a((b-u)/(c-u))^(1/3),
(7)

分别。

类似于 Brocard 角 omega 的不等式 omega<=pi/6,对于 Yff 点,u<=p/6 成立,在等边三角形的情况下取等号。类似于

 omega<alpha_i<pi-3omega
(8)

对于 i=1、2、3,Yff 点满足

 u<a_i<p-3u.
(9)

Yff (1963) 给出了许多其他有趣的性质。直线 UU^' 垂直于包含内心 I外心 O 的直线,其长度由下式给出

 UU^'^_=(4uIO^_Delta)/(u^3+abc),
(10)

其中 Delta三角形面积

Yff 点的塞瓦三角形被称为 Yff 三角形。


另请参阅

Brocard 点, 第一 Yff 三角形, 第二 Yff 三角形

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参考文献

Yff, P. "Brocard 点的类比。" Amer. Math. Monthly 70, 495-501, 1963.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Yff 点

请这样引用

Weisstein, Eric W. "Yff 点。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/YffPoints.html

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