旋转曲面

旋转曲面是通过将二维曲线绕轴旋转而生成的曲面。因此，所得曲面始终具有轴对称性。旋转曲面的例子包括苹果曲面、圆锥（不包括底面）、圆锥台（不包括端面）、圆柱体（不包括端面）、达尔文-德西特椭球体、加百利号角、双曲面、柠檬曲面、扁球面、抛物面、长球面、伪球面、球面、椭球体和环面（及其推广，环体）。

通过将曲线 从 到 绕 x 轴 旋转获得的旋转曲面的面积元素是

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因此，表面积是

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(Apostol 1969, p. 286; Kaplan 1992, p. 251; Anton 1999, p. 380)。如果曲线改为由 参数化指定，则当 且 在此区间内时，通过将曲线绕 x 轴 旋转获得的表面积由下式给出

(5)

类似地，通过将曲线 从 到 绕 y 轴 旋转获得的旋转曲面的面积由下式给出

			(6)
			(7)

(Anton 1999, p. 380)。如果曲线改为由 参数化指定，则当 且 在此区间内时，通过将曲线绕 y 轴 旋转获得的表面积由下式给出

(8)

下表给出了一些常见旋转曲面的侧面表面积 ，其中 表示半径（圆锥、圆柱、球体或球带的半径）， 和 分别表示圆台的内半径和外半径， 表示高度， 表示椭球体的扁率，以及 和 分别表示赤道半径和极半径（对于椭球体）或圆形横截面的半径和旋转半径（对于环面）。

曲面
圆锥
圆锥台
圆柱体
扁球面
长球面
球面
环面
球带

旋转曲面的标准参数化由下式给出

			(9)
			(10)
			(11)

对于如此参数化的曲线，第一基本形式为

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			(13)
			(14)

只要 和 非零，则曲面是正则的，第二基本形式为

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			(16)
			(17)

此外，单位法向量为

(18)

主曲率为

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			(20)

高斯曲率和平均曲率为

			(21)
			(22)

(Gray 1997)。

帕普斯重心定理给出旋转体的体积，即横截面积乘以重心旋转时所经过的距离。