主题
Search

八曲面

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram Notebook
EightSurface

由参数方程给出的旋转曲面

x(u,v)=cosusin(2v)
(1)
y(u,v)=sinusin(2v)
(2)
z(u,v)=sinv
(3)

对于 u in [0,2pi) 和 v in [-pi/2,pi/2]。

它是由以下方程定义的四次曲面

4z^4+a^2(x^2+y^2-4z^2)=0.
(4)

通过在上述方程中进行变换 z->z/2，可以得到一个基本等价的曲面，Hauser 称之为 octdong 曲面，即

z^4+4a^2(x^2+y^2-z^2)=0.
(5)

设置 x=0，z=x/2 和 a^'=a/2 (即，缩放一半并将 z 轴重新标记为 x 轴) 得到 八字曲线，因此八曲面“几乎”是旋转曲面。

第一基本形式的系数是

E=a^2sin^2(2v)
(6)
F=0
(7)
G=1/2a^2[5+cos(2v)+4cos(4v)]
(8)

而第二基本形式的系数是

e=-(4sqrt(2)cos^3vsin^2v)/(|sin(2v)|sqrt(5+cos(2v)+4cos(4v)))
(9)
f=0
(10)
g=-(2sqrt(2)[5cosv+cos(3v)]sin^2v)/(|sin(2v)|sqrt(5+cos(2v)+4cos(4v))).
(11)

高斯曲率和平均曲率由下式给出

K=(4[2+cos(2v)])/([5+cos(2v)+4cos(4v)]^2)
(12)
H=(cos(v)[-11+3cos(2v)-2cos(4v)])/(sqrt(2)|sin(2v)|[5+cos(2v)+4cos(4v)]^(3/2)).
(13)

高斯曲率可以隐式地表示为

K(x,y,z)=(3a^6-2a^4z^2)/((5a^4-17a^2z^2+16z^4)^2).
(14)

八曲面的表面积和体积由下式给出

S=(pia^2[240+136sqrt(5)+31ln(17+8sqrt(5))])/(128)
(15)
V=(16)/(15)pia^3.
(16)

其质心位于 (0,0,0)，其惯性张量为

I=[(13)/(21)Ma^2 0 0; 0 (13)/(21)Ma^2 0; 0 0 8/(21)Ma^2]
(17)

对于具有均匀密度和质量为 M 的实体。

另请参阅

八字曲线

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Gray, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 310, 1997.Hauser, H. "Gallery of Singular Algebraic Surfaces: Octdong." https://homepage.univie.ac.at/herwig.hauser/gallery.html.

请引用为

Weisstein, Eric W. “八曲面。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EightSurface.html

主题分类