主题
Search

旋转体

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram Notebook
SolidOfRevolutionCylinders

旋转体是通过将一维曲线、直线等绕轴旋转获得的旋转曲面所包围的实体。通过与底面倾斜的平面切割获得的旋转体的一部分称为楔形体。

为了通过累加一系列薄圆柱壳来找到旋转体的体积，考虑一个区域，该区域上方由 z=f(x) 边界，下方由 z=g(x) 边界，左侧由直线 x=a 边界，右侧由直线 x=b 边界。当该区域绕 z 轴旋转时，得到的体积由下式给出

V=2piint_a^bx[f(x)-g(x)]dx.

下表给出了使用圆柱法计算的各种旋转体的体积。

实体f(x)g(x)体积
圆锥h(1-x/r)01/3pihr^2
圆锥台{h for x<R_2; h(1-(x-R_2)/(R_1-R_2)) otherwise01/3pih(R_1^2+R_1R_2+R_2^2)
圆柱h0pihr^2
扁球面csqrt(1-(x^2)/(a^2))-csqrt(1-(x^2)/(a^2))4/3pia^2c
长球面csqrt(1-(x^2)/(a^2))-csqrt(1-(x^2)/(a^2))4/3pia^2c
球体sqrt(r^2-x^2)-sqrt(r^2-x^2)4/3pir^3
圆环体sqrt(a^2-(x-c)^2)-sqrt(a^2-(x-c)^2)2pi^2a^2c
球缺{h+d for x<b; sqrt(R^2-x^2) otherwised1/6pih(3a^2+3b^2+h^2)
球冠环面{sqrt(R^2-x^2)-(R-h) for x<c[1+(R/a-1)^(-1)]; sqrt(a^2-(x-c)^2) otherwise0pi/6[3a^2cpi+4R^3-2sqrt((a-c-R)(a+c-R))(2a^2+c^2+2aR+2R^2)+6a^2csin^(-1)(c/(a-R))]
SolidOfRevolutionDisks

为了通过累加一系列薄平垫圈来找到旋转体的体积，考虑一个区域，该区域左侧由 x=f(z) 边界，右侧由 x=g(z) 边界，底部由直线 z=a 边界，顶部由直线 z=b 边界。当该区域绕 z 轴旋转时，得到的体积是

V=piint_a^b{[f(x)]^2-[g(x)]^2}dx.

下表给出了使用垫圈法计算的各种旋转体的体积。

实体f(x)g(x)体积
桶形 (椭圆形的)sqrt(r_2^2+((r_1-r_2)(r_1+r_2)(h-2z)^2)/(h^2))01/3hpi(r_1^2+2r_2^2)
桶形 (抛物线形的)r_2+((r_1-r_2)(h-2z)^2)/(h^2)01/(15)hpi(3r_1^2+4r_1r_2+8r_2^2)
圆锥r(1-z/h)01/3pihr^2
圆锥台R_1+(R_2-R_1)z/h01/3pih(R_1^2+R_1R_2+R_2^2)
圆柱r0pir^2h
扁球面asqrt(1-(z^2)/(c^2))04/3pia^2c
长球面asqrt(1-(z^2)/(c^2))04/3pia^2c
球体sqrt(r^2-z^2)04/3pir^3
圆环体c+sqrt(a^2-z^2)c-sqrt(a^2-z^2)2pi^2a^2c
球缺sqrt(R^2-z^2)01/6pih(3a^2+3b^2+h^2)
球冠环面{c+sqrt(a^2-z^2) for z<a(R-h)/(R-a); sqrt(R^2-[z+(R-h)]^2) otherwise0pi/3[2hR^2-(2a^2+c^2+2aR)(R-h)+3a^2csin^(-1)((R-h)/(R-a))]

另请参阅

圆盘法, 柱壳法, 垫圈法, 旋转曲面, 楔形体, 体积

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Harris, J. W. 和 Stocker, H. "旋转体。" §4.10 在 数学与计算科学手册。 New York: Springer-Verlag, pp. 111-113, 1998.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

旋转体

请引用为

Weisstein, Eric W. "旋转体。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/SolidofRevolution.html

主题分类