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抛物面

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Paraboloid

抛物线的旋转曲面，是汽车前灯反射器中使用的形状 (Steinhaus 1999, p. 242; Hilbert and Cohn-Vossen 1999)。它是一个二次曲面，可以用笛卡尔方程表示

z=b(x^2+y^2).
(1)

半径为 a 的高度为 h 的抛物面，然后由参数方程给出

x(u,v)=asqrt(u/h)cosv
(2)
y(u,v)=asqrt(u/h)sinv
(3)
z(u,v)=u,
(4)

其中 u>=0, v in [0,2pi).

第一基本形式的系数由下式给出

E=1+(a^2)/(4hu)
(5)
F=0
(6)
G=(a^2u)/h
(7)

第二基本形式的系数为

e=(a^2)/(2usqrt(a^4+4a^2hu))
(8)
f=0
(9)
g=(2a^2u)/(sqrt(a^4+4a^2hu))
(10)

面积元素为

dS=(sqrt(a^4+4a^2hu))/(2h)du ^ dv,
(11)

给出表面积

S=int_0^(2pi)int_0^hdS
(12)
=(pia)/(6h^2)[(a^2+4h^2)^(3/2)-a^3].
(13)

高斯曲率由下式给出

K=(4h^2)/((a^2+4hu)^2),
(14)

平均曲率为

H=(2h(a^2+2hu))/((a^2+4hu)sqrt(a^4+4a^2hu)).
(15)

高度为 h 的抛物面的体积为

V=piint_0^h(a^2z)/hdz
(16)
=1/2pia^2h.
(17)

抛物面上 z 的加权平均值为

<z>=piint_0^h(a^2z)/hzdz
(18)
=1/3pia^2h^2.
(19)

几何质心由下式给出

z^_=(<z>)/V=2/3h
(20)

(Beyer 1987).

另请参阅

椭圆抛物面, 双曲抛物面, 抛物线, 幂函数体

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参考文献

Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 133, 1987.Gray, A. "The Paraboloid." §13.5 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 307-308, 1997.Harris, J. W. and Stocker, H. "Paraboloid of Revolution." §4.10.2 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 112, 1998.Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 10-11, 1999.Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.

请引用为

Weisstein, Eric W. "Paraboloid." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Paraboloid.html

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