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加百列号角

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GabrielsHorn

加百列号角，也称为托里切利小号，是函数 y=1/x 绕 x 轴 旋转的旋转曲面，其中 x>=1。 因此，它由参数方程给出

x(u,v)=u
(1)
y(u,v)=(acosv)/u
(2)
z(u,v)=(asinv)/u.
(3)

关于这个曲面令人惊讶的事情是它（为方便起见，这里取 a=1）具有有限的体积

V=int_1^inftypiy^2dx
(4)
=piint_1^infty(dx)/(x^2)
(5)
=pi,
(6)

但是具有无限的表面积，因为

S=int_1^infty2piysqrt(1+y^'^2)dx
(7)
>2piint_1^inftyydx
(8)
=2piint_1^infty(dx)/x
(9)
=2pi[lnx]_1^infty
(10)
=2pi[lninfty-0]
(11)
=infty.
(12)

这导致了一个悖论性的结果，虽然加百列号角可以用 pi 立方单位的油漆填充，但需要无限数量的平方单位的油漆来覆盖其表面！

第一基本形式的系数是：

E=1+(a^2)/(u^4)
(13)
F=0
(14)
G=(a^2)/(u^2)
(15)

以及第二基本形式的系数是

e=-(2a)/(usqrt(a^2+u^4))
(16)
f=0
(17)
g=(au)/(sqrt(a^2+u^4)).
(18)

高斯曲率和平均曲率是

K=-(2u^6)/((a^2+u^4)^2)
(19)
H=(u^7-a^2u^3)/(2a(a^2+u^4)^(3/2)).
(20)

高斯曲率可以隐式地表示为

K(x,y,z)=-(2x^2)/(2a^2+x^4+(y^2+z^2)^2).
(21)

另请参阅

漏斗, 伪球面

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请引用为

Weisstein, Eric W. “加百列号角。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GabrielsHorn.html

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