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圆锥台

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ConicalFrustumGraphic
Frustum

圆锥台是通过切割圆锥顶部（切割面平行于底面）而形成的锥台。对于直圆锥，令 s 为斜高，R_1 和 R_2 为底面和顶面半径。那么

s=sqrt((R_1-R_2)^2+h^2).
(1)

表面积（不包括顶部和底部圆）为

A=pi(R_1+R_2)s
(2)
=pi(R_1+R_2)sqrt((R_1-R_2)^2+h^2).
(3)

锥台的体积由下式给出

V=piint_0^h[r(z)]^2dz.
(4)

但是

r(z)=R_1+(R_2-R_1)z/h,
(5)

所以

V=piint_0^h[r(z)]^2dz
(6)
=piint_0^h[R_1+(R_2-R_1)z/h]^2dz
(7)
=1/3pih(R_1^2+R_1R_2+R_2^2).
(8)

这个公式可以推广到任何棱锥，令 A_i 为锥台顶部和底部的底面积。那么体积可以写成

V=1/3h(A_1+A_2+sqrt(A_1A_2)).
(9)

z 在锥台上的面积加权积分是

<z>=piint_0^hz[r(z)]^2dz
(10)
=1/(12)pih^2(R_1^2+2R_1R_2+3R_2^2),
(11)

所以几何质心位于 z轴上，高度为

z^_=(<z>)/V
(12)
=(h(R_1^2+2R_1R_2+3R_2^2))/(4(R_1^2+R_1R_2+R_2^2))
(13)

（Eshbach 1975, p. 453; Beyer 1987, p. 133; Harris and Stocker 1998, p. 105）。圆锥的特殊情况通过取 R_2=0 得到 z^_=h/4。

另请参阅

圆锥, 锥台, 棱锥台, 球冠

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参考

Beyer, W. H. (Ed.). CRC 标准数学表，第 28 版 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 129-130 和 133, 1987.Eshbach, O. W. 工程基础手册。 New York: Wiley, 1975.Harris, J. W. 和 Stocker, H. "Frustum of a Right Circular Cone." §4.7.2 in 数学与计算科学手册。 New York: Springer-Verlag, p. 105, 1998.Kern, W. F. 和 Bland, J. R. "Frustum of Right Circular Cone." §29 in 带证明的立体测量学，第 2 版。 New York: Wiley, pp. 71-75, 1948.

引用为

Weisstein, Eric W. "Conical Frustum." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ConicalFrustum.html

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