伪球面 -- 来自 Wolfram MathWorld

伪球面

伪球面是由曳物线绕其渐近线旋转生成的常负高斯曲率旋转曲面。它有时也被称为曳物面，曳物线面，反球面或曳物线体（Steinhaus 1999，p. 251）。笛卡尔参数方程为

对于和。

它可以写成隐式笛卡尔形式：

(4)

其他参数化表示包括

对于和 (Gray et al. 2006, p. 480) 和

对于和，其中

		${e^v for v<0; e^(-v) for v>=0$	(11)
		${sqrt(1-e^(2v))-tanh^(-1)(sqrt(1-e^(2v))) for v<0; ln(e^v+sqrt(e^(2v)-1))-e^(-v)sqrt(e^(2v)-1) for v>=0$	(12)

(Gray et al. 2006, p. 477)。

在第一个参数化中，第一基本形式的系数是

(19)

(20)

这与通常的球面完全相同。

即使伪球面具有无限的范围，它也具有有限的体积。体积可以通过变量替换找到，得到，并代入旋转体的方程，得到

(21)

这正好是通常球面的一半。

			(22)
			(23)

因此，伪球面具有与球面相同的体积，同时具有恒定的负高斯曲率（而不是球面的恒定正曲率），这导致了名称“伪球面”。伪球面的恒定负曲率也使其成为双曲几何的局部部分模型，正如圆锥或圆柱体是平面欧几里得几何的局部部分模型一样。

伪球面上测地线的方程由下式给出

(24)

伪球面