Reidemeister 挠率

在代数拓扑中，Reidemeister 挠率最初是作为 3-流形的拓扑不变量引入的概念，现在已被广泛应用于各种背景。在其被发现时，Reidemeister 挠率是第一个能够区分同伦等价但不同胚的流形的 3-流形不变量。此后，这个概念已被应用于更高维的流形、纽结和链环、动力系统、Witten 方程等等。特别地，它在不同的背景下有许多不同的定义。

对于交换环 ，设 是形式为以下形式的基于有限生成自由 R-模的有限无环链复形

(1)

的 Reidemeister 挠率是由 定义的值，定义为

(2)

其中 是 的单位集， 是一个链收缩， 是边界映射，并且

(3)

是从 到 的映射。在这种情况下，Reidemeister 挠率有时被称为复形 的挠率 (Nicolaescu 2002)，并且可以被认为是行列式的矩阵的推广 (Ranicki 1997)。

定义 Reidemeister 挠率的另一个常见背景是在 CW-复形 的情况下。从具有有限 CW-分解 的紧度量空间 开始，并考虑规范诱导的链复形 的自由阿贝尔群，

(4)

将 提升到最大阿贝尔 覆盖 的 CW-分解 会产生一个相关的链复形 ，它具有 基。特别地，定义

(5)

其中 表示集合 的置换群，自由 -模的链复形 关于 -轨道 的 -基被称为 的 Reidemeister 挠率。在这种情况下，Reidemeister 挠率是 的一个良好定义的元素。关于此构造的深入细节可以在例如 Nicolaescu (2002) 中找到。

Reidemeister 挠率有时被称为 R-挠率或 Reidemeister-Franz 挠率。更重要的是，R-挠率与许多其他拓扑工具密切相关，包括Whitehead 挠率，并且 Cheeger 和 Müller 证明在紧黎曼流形的情况下，它与解析挠率完全相等。