自由模

秩为 在非零 单位环 上的自由模，通常表示为 ，是所有序列 的集合，这些序列可以通过选取 个（不必互异的）元素 , , ..., 在 中形成。集合 是被称为模的代数结构的特定示例，因为它满足以下属性。

1. 它是关于序列的分量式加法的加法 阿贝尔群，

(1)

2. 可以将任何序列与 的任何元素相乘，根据规则

(2)

并且此乘积满足结合律和分配律。

术语自由模扩展到所有与 同构的模，即，本质上具有与 相同的结构的模。请注意，并非所有模都是自由的。例如，商环 ，其中 是大于 1 的整数，则不是自由的，因为它是一个具有 个元素的 -模，因此它不能与任何模 同构，后者都是无限集。因此，作为 -模，它不是自由的，当然，作为其自身的模，它是自由的。

秩为 的自由模可以在环 上从任何抽象集合 构造，只需取 的元素的所有形式线性组合，系数在 中

(3)

并定义以下加法

(4)

和乘法

(5)

由此获得的模通常用 表示。它由 生成，它们是独立的客体：这解释了为什么它应该被称为自由的。在 是域的特殊情况下， 是一个抽象向量空间，其集合 作为基。

自由模在代数学中起着核心作用，因为任何模都是某个自由模的同态像：给定一个由其子集 生成的模 ，由 定义的映射显然是从 到 的满射模同态。

(6)

其中除了有限多个之外的所有系数 都等于零。模 然后与模直和同构

(7)

请注意，如果 是一个具有 个元素的有限集，则此模恰好是 。