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并集

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两个集合 A 和 B 的并集是通过组合每个集合的成员获得的集合。这写作 A union B，读作 “A 并 B” 或 “A 杯 B”。集合 A_1 到 A_n 的并集写作 union _(i=1)^nA_i。列表的并集可以在 Wolfram 语言 中计算为并集[l].

设 A、 B、 C、 ... 为集合，令 P(S) 表示 S 的概率。则

P(A union B)=P(A)+P(B)-P(A intersection B).
(1)

类似地，

P(A union B union C)=P[A union (B union C)]
(2)
=P(A)+P(B union C)-P[A intersection (B union C)]
(3)
=P(A)+[P(B)+P(C)-P(B intersection C)]-P[(A intersection B) union (A intersection C)]
(4)
=P(A)+P(B)+P(C)-P(B intersection C)-{P(A intersection B)+P(A intersection C)-P[(A intersection B) intersection (A intersection C)]}
(5)
=P(A)+P(B)+P(C)-P(A intersection B)-P(A intersection C)-P(B intersection C)+P(A intersection B intersection C).
(6)

对于 n 个集合，此属性的通用表述被称为容斥原理。

如果 A 和 B 是不相交集合，那么根据定义 P(A intersection B)=0，因此

P(A union B)=P(A)+P(B).
(7)

继续，对于一组 n 个不相交元素 E_1、 E_2、 ...、 E_n

P( union _(i=1)^nE_i)=sum_(i=1)^nP(E_i),
(8)

这是可数可加性概率公理。现在令

E_i=A intersection B_i,
(9)

则

P( union _(i=1)^nE intersection B_i)=sum_(i=1)^nP(E intersection B_i).
(10)

另请参阅

不相交并集, 容斥原理, 交集, 或, 并闭集, 无序并集 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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引用为

Weisstein, Eric W. "并集。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Union.html

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