Whitehead 挠率

设 为一对，由 有限、连通的 CW-复形 组成，其中 是 的子复形。定义关联的 链复形 群 式地，对于每个 ，通过设置

(1)

其中 表示具有 奇异同调 和 整数 系数的同调，并且其中 表示 的所有 胞腔 的 并集，其 维度 小于或等于 。 请注意， 是 自由阿贝尔群，对于 -胞腔 的每个 生成元， 的。

接下来，考虑 的 万有覆盖 复形 和 。 的 基本群 可以被识别为 覆盖变换 的 群 ，因此每个 确定了一个 映射

(2)

然后，这会导出 链同态

(3)

链同态 将每个链群 转换为 模 在 群环 上，它是 -自由模，对于 -胞腔 的每个 ，它有一个生成元，并且由于 的有限性，它是关于 有限生成的。

因此，存在一个自由 链复形

(4)

在 上，其 同调群 为零，因为 形变收缩 到 上。 一个简单的论证表明，对于每个 ，存在所谓的首选 基 （Milnor），由此可以将 Whitehead 挠率定义为复形 在 Whitehead 商群 中的挠率 的 像。

值得注意的是，Whitehead 挠率是 Reidemeister 挠率 的明显推广，前者被定义为 阿贝尔群 元素，而不是像后者那样的 代数数。 专家指出，Reidemeister 挠率 的研究此后已归入 Whitehead 挠率的研究中 (Ranicki 1997)，而 Whitehead 挠率为考察具有非平凡基本群的可微和组合流形提供了一个基本工具。