链复形

链复形是一个映射序列

(1)

其中空间 可以是 阿贝尔群 或 模。这些映射必须满足 。在隐式理解域的情况下，这些映射用 表示，称为边界算子或微分。链复形是用于计算或定义同调的代数工具，并具有各种应用。上链复形用于上同调的情况。

的元素称为链。对于每个 ， 的核被称为闭链群，

(2)

字母 是德语单词 "Zyklus"（循环）的缩写。像 被包含在闭链群中，因为 。它被称为边缘群。

(3)

商群 是链的同调群。

例如，序列

(4)

其中每个空间都是 ，每个映射都由乘以 4 给出，这是一个链复形。每个阶段的闭链是 ，边缘是 。因此，每个阶段的同调是两个元素的群 。一个更简单的例子由线性变换 给出，它可以扩展到由零向量空间和零映射组成的链复形。那么，非平凡的同调群是 和 。

链复形的术语来自同调在拓扑空间（如流形）中几何对象的计算。例如，在上图中，令 和 表示点， 和 表示有向线段，它们是链。 的边界是 ， 的边界是 。

群 是自由阿贝尔群 ，群 是自由阿贝尔群 。边界算子是

(5)

其他群 是平凡群，其他映射是零映射。那么 由 生成， 是平凡子群。因此 是秩为 1 的自由阿贝尔群，同构于 。零维情况稍微有趣一些。 的每个元素都没有边界，因此都在 中，而边缘 由 生成。因此， 也同构于 。请注意，结果不受圆被切割成多少块或使用多少切割次数的影响。