群轨道

在天体力学中，行星绕太阳运行时所描绘的固定路径称为轨道。当一个 群 作用于一个集合 （此过程称为 群作用）时，它会置换 的元素。任何特定元素 都在一个固定的路径上移动，这称为其轨道。在集合论的符号中，群元素 的群轨道可以定义为

(1)

其中 遍历群 的所有元素。例如，对于 置换群 ，1 和 2 的轨道是 ，而 3 和 4 的轨道是 。

群不动点 是由单个元素组成的轨道，即在群的所有元素下都发送到自身的元素。稳定子 元素 由产生 群不动点 在 中的 的所有置换组成，即，将 发送到自身的置换。因此， 下 1 和 2 的稳定子是 ，而 3 和 4 的稳定子是 。

请注意，如果 ，则 ，因为 当且仅当 。因此，轨道 划分 ，并且，给定集合 上的 置换群 ，元素 的轨道是 的子集，该子集由某些元素 可以将 发送到的元素组成。

例如，考虑圆群 在 球面 上沿其轴旋转的作用。那么北极是一个轨道，南极 也是。赤道是一个一维轨道，一般轨道也是，对应于纬度线。

李群 作用的轨道可能彼此不同。例如，，正交群 符号 ，作用于平面。它有三种不同类型的轨道：原点（一个 群不动点）、四条射线 和双曲线，例如 。一般来说，轨道的维度可以是任何维度，最高可达 李群 的维度。如果 李群 是 紧致 的，那么它的轨道是 子流形。

群在其通过 的轨道上的作用是 传递 的，因此与其 迷向群 相关。特别是，迷向子群的陪集对应于轨道中的元素，

(2)

其中 是 在 中的轨道，而 是 在 中的 稳定子。这立即给出了恒等式

(3)

其中 表示群 的阶数（Holton 和 Sheehan 1993，第 27 页）。