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丰沛数

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丰沛数，有时也称为过剩数，是一个 正整数 n 其中

s(n)=sigma(n)-n>n,
(1)

其中 sigma(n) 是 除数函数，而 s(n) 是限制除数函数。数量 sigma(n)-2n 有时被称为丰度。

一个丰沛数，但其所有真因子都是亏数的数，被称为本原丰沛数 (Guy 1994, p. 46)。

前几个丰沛数是 12, 18, 20, 24, 30, 36, ... (OEIS A005101)。

每个正整数 n 且 (mod n)60 都是丰沛数。完全数或丰沛数的任何倍数也是丰沛数。素数不是丰沛数。每个大于 20161 的数都可以表示为两个丰沛数的和。

小于 100 的丰沛数只有 21 个，它们都是偶数。第一个奇丰沛数是

945=3^3·7·5.
(2)

可以通过计算看出 945 是丰沛数

s(945)=975>945.
(3)
AbundantNumberDensity

定义密度函数

A(x)=lim_(n->infty)(|{k<=n:sigma(k)>=xk}|)/n
(4)

(更正了 Finch 2003, p. 126 中的表达式) 对于一个正实数 x 其中 |B| 给出了集合 |B| 的基数，然后 Davenport (1933) 证明了 A(x) 存在且对所有 x 连续，并且 Erdős (1934) 给出了一个简化的证明 (Finch 2003)。特殊情况 A(2) 然后给出了丰沛数的渐近密度，

A(2)=lim_(n->infty)(# abundant numbers <=n)/n.
(5)

下表总结了常数界限随时间的改进。

值参考
0.241<A(2)<0.314Behrend (1933)
0.2441<A(2)<0.2909Wall (1971) 和 Wall 等人 (1977)
0.2474<A(2)<0.2480Deléglise (1998)
0.2476171<A(2)<0.2476475Kobayashi (2010, p. 12)

另请参阅

丰度, 因子和数列, 超丰沛数, 亏数, 高合成数, 多亲和数, 完全数, 实用数, 本原丰沛数, 奇异数

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参考文献

Behrend, F. "Über numeri abundantes." Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., No. 21/23, 322-328, 1932.Behrend, F. "Über numeri abundantes. II." Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., No. 6, 280-293, 1933.Davenport, H. "Über numeri abundantes." Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., No. 6, 830-837, 1933.Deléglise, M. "Bounds for the Density of Abundant Integers." Exp. Math. 7, 137-143, 1998.Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, pp. 3-33, 2005.Erdős, P. "On the Density of the Abundant Numbers." J. London Math. Soc. 9, 278-282, 1934.Finch, S. R. "Abundant Numbers Density Constant." §2.11 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 126-127, 2003.Guy, R. K. Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 45-46, 1994.Kobayashi, M. "On the Density of Abundant Numbers." Ph.D. thesis. Hanover, NH: Dartmouth College, 2010.Singh, S. Fermat's Enigma: The Epic Quest to Solve the World's Greatest Mathematical Problem. New York: Walker, pp. 11 and 13, 1997.Sloane, N. J. A. Sequence A005101/M4825 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Souissi, M. Un Texte Manuscrit d'Ibn Al-Bannā' Al-Marrakusi sur les Nombres Parfaits, Abondants, Deficients, et Amiables. Karachi, Pakistan: Hamdard Nat. Found., 1975.Wall, C. R. "Density Bounds for the Sum of Divisors Function." In The Theory of Arithmetic Functions: Proceedings of the Conference at Western Michigan University, April 29-May 1, 1971. (Ed. A. A. Gioia and D. L. Goldsmith). New York: Springer-Verlag, pp. 283-287, 1971.Wall, C. R.; Crews, P. L.; and Johnson, D. B. "Density Bounds for the Sum of Divisors Function." Math. Comput. 26, 773-777, 1972.Wall, C. R.; Crews, P. L.; and Johnson, D. B. "Density Bounds for the Sum of Divisors Function." Math. Comput. 31, 616, 1977.

在 Wolfram|Alpha 上引用

丰沛数

引用为

Weisstein, Eric W. "丰沛数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/AbundantNumber.html

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