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亲和数对

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一对亲和数对 (m,n) 由两个整数 m,n 组成，其中一个数的真因子（因子，不包括该数本身）之和等于另一个数。亲和数对有时被称为友好数对（Hoffman 1998，第 45 页），尽管这种命名法不应提倡，因为更常被称为友好数对的数字是由不同的但相关的标准定义的。符号表示，亲和数对满足

s(m)=n
(1)
s(n)=m,
(2)

其中

s(n)=sigma(n)-n
(3)

是受限除数函数。等效地，一对亲和数对 (m,n) 满足

sigma(m)=sigma(n)=s(m)+s(n)=m+n,
(4)

其中 sigma(n) 是除数函数。最小的亲和数对是 (220, 284)，其分解为

220=11·5·2^2
(5)
284=71·2^2
(6)

给出受限除数函数

s(220)=sum{1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}
(7)
=284
(8)
s(284)=sum{1,2,4,71,142}
(9)
=220.
(10)

数量

sigma(m)=sigma(n)=s(m)+s(n),
(11)

在这种情况下，220+284=504，被称为数对和。前几个亲和数对是 (220, 284)、(1184, 1210)、(2620, 2924) (5020, 5564)、(6232, 6368)、(10744, 10856)、(12285, 14595)、(17296, 18416)、(63020, 76084), ... (OEIS A002025 和 A002046)。D. Moews 维护了一个详尽的表格。

1636 年，费马发现了数对 (17296, 18416)，1638 年，笛卡尔发现了 (9363584, 9437056)，尽管这些结果实际上是阿拉伯数学家已知的数字的重新发现。到 1747 年，欧拉已经发现了 30 对，后来他将这个数字扩展到 60 对。1866 年，16 岁的 B. Nicolò I. Paganini 发现了小的亲和数对 (1184, 1210)，这逃过了他更杰出的前辈的目光 (Paganini 1866-1867; Dickson 2005, p. 47)。截至 1946 年，已知有 390 对亲和数对 (Escott 1946)。低于 10^8 的亲和数对总共有 236 对 (Cohen 1970)，低于 10^(10) 的有 1427 对 (te Riele 1986)，少于 10^(11) 的有 3340 对 (Moews and Moews 1993ab)，少于 2.01×10^(11) 的有 4316 对 (Moews and Moews 1996)，以及少于 approx 3.06×10^(11) 的有 5001 对 (Moews and Moews 1996)。

生成亲和数对的规则包括由费马和笛卡尔重新发现的 Thâbit ibn Kurrah 规则，以及欧拉扩展的 欧拉规则。Borho (1972) 发现了一个以前未被注意到的进一步扩展。

Pomerance (1981) 证明了

[amicable numbers <=n]<ne^(-[ln(n)]^(1/3))
(12)

对于足够大的 n (Guy 1994)。尚未证明非有限下界。

令亲和数对表示为 (m,n)，并取 m<n。如果满足以下条件，则 (m,n) 称为 (i,j) 类型的正则亲和数对

(m,n)=(gM,gN),
(13)

其中 g=GCD(m,n) 是最大公约数，

GCD(g,M)=GCD(g,N)=1,
(14)

M 和 N 是无平方因子数，那么 M 和 N 的质因子数分别是 i 和 j。非正则的数对称为不规则或奇异数对 (te Riele 1986)。对于 j>=1，不存在 (1,j) 类型的正则数对。如果 m=0 (mod 6) 且

n=sigma(m)-m
(15)

是偶数，则 (m,n) 不可能是亲和数对 (Lee 1969)。te Riele (1986) 发现的 m/n 的最小值和最大值分别为

938304290/1344480478=0.697893577...
(16)

和

4000783984/4001351168=0.9998582518....
(17)

te Riele (1986) 还发现了 37 对具有相同数对和的亲和数对。第一对是 (609928, 686072) 和 (643336, 652664)，它们的数对和为

sigma(m)=sigma(n)=m+n=1296000.
(18)

te Riele (1986) 没有发现对于 n>2 具有相同数对和的亲和 n 元组。然而，Moews 和 Moews 在 1993 年发现了一个三元组，te Riele 在 1995 年发现了一个四元组。1997 年 11 月，发现了一个五元组和一个六元组。六元组是 (1953433861918, 2216492794082)、(1968039941816, 2201886714184)、(1981957651366, 2187969004634)、(1993501042130, 2176425613870)、(2046897812505, 2123028843495)、(2068113162038, 2101813493962)，所有这些的数对和为 4169926656000。令人惊讶的是，这个六元组比任何已知的四元组或五元组都小，并且可能比任何五元组都小。

最早已知的奇亲和数都是可被 3 整除的。这导致 Bratley 和 McKay (1968) 推测不存在与 6 互质的亲和数对 (Guy 1994, p. 56)。然而，Battiato 和 Borho (1988) 找到了一个反例，现在已知许多不可被 6 整除的亲和数对 (Pedersen)。这种类型的最小已知示例是亲和数对 (42262694537514864075544955198125, 42405817271188606697466971841875)，每个数字都有 32 位数。

然后开始搜索与 30 互质的亲和数对。Y. Kohmoto 于 1997 年发现了第一个示例，由一对数字组成，每个数字都有 193 位数 (Pedersen)。Kohmoto 随后又发现了两个示例，te Riele 和 Pedersen 使用了 Kohmoto 的两个示例，通过一种从 (2,1) 类型数对生成 (3,2) 类型数对的方法，计算出了 243 个与 30 互质的类型为 (3,2) 的数对。

目前尚不知道与 2·3·5·7=210 互质的亲和数对。

下表总结了近年来发现的最大的已知亲和数对。其中最大的一对是通过定义

a=2·5·11
(19)
S=37·173·409·461·2136109·2578171801921099·68340174428454377539
(20)
p=925616938247297545037380170207625962997960453645121
(21)
q=210958430218054117679018601985059107680988707437025081922673599999
(22)
q_1=(p+q)p^(235)-1
(23)
q_2=(p-S)p^(235)-1,
(24)

然后 p、q、q_1 和 q_2 都是素数，并且这些数

n_1=aSp^(235)q_1
(25)
n_2=aqp^(235)q_2
(26)

是一对亲和数对，每个成员都有 24073 位十进制数字 (Jobling 2005)。

位数日期参考文献
482910 月 4 日, 1997M. García
86846 月 6 日, 2003Jobling 和 Walker 2003
165635 月 12 日, 2004Walker 等人 2004
173265 月 12 日, 2004Walker 等人 2004
240733 月 10 日, 2005Jobling 2005

高斯整数中的亲和数对也存在，例如

s(8008+3960i)=4232-8280i
(27)
s(4232-8280i)=8008+3960i
(28)

和

s(-1105+1020i)=-2639-1228i
(29)
s(-2639-1228i)=-1105+1020i
(30)

(T. D. Noe，私人通讯)。

另请参阅

因子和序列, 亲和四元组, 亲和三元组, 增广亲和数对, 繁殖器, 群, 欧拉规则, 友好数对, 多重亲和数, 数对和, 准亲和数对, 有理亲和数对, 社交数, Thâbit ibn Kurrah 规则, 酉亲和数对

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参考文献

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在 Wolfram|Alpha 中被引用

亲和数对

请引用为

Weisstein, Eric W. “亲和数对。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/AmicablePair.html

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