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六边形数


HexagonalNumber

一种 多边形数和 6-多边形数形式为 n(2n-1)。前几个是 1, 6, 15, 28, 45, ... (OEIS A000384)。六边形数的生成函数由下式给出

 (x(3x+1))/((1-x)^3)=x+6x^2+15x^3+28x^4+....
(1)

每个六边形数都是一个三角形数,因为

 r(2r-1)=1/2(2r-1)[(2r-1)+1].
(2)

1830 年,Legendre (1979) 证明了每个大于 1791 的数都是四个六边形数的和,Duke 和 Schulze-Pillot (1990) 将其改进为对于每个足够大的整数,都是三个六边形数的和。

恰好有 13 个正整数不能用四个六边形数表示,即 5, 10, 11, 20, 25, 26, 38, 39, 54, 65, 70, 114 和 130 (OEIS A007527; Guy 1994a)。

类似地,只有两个正整数不能用五个六边形数表示,即

11=1+1+1+1+1+6
(3)
26=1+1+6+6+6+6.
(4)

每个正整数都可以用六个六边形数表示。


另请参阅

图形数, 六边形数(Hex Number), 七边形六边形数, 六边形五边形数, 八边形六边形数, 三角形数

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参考文献

Duke, W. 和 Schulze-Pillot, R. "正定三元二次型对整数的表示以及椭球面上格点的等分布。" Invent. Math. 99, 49-57, 1990.Guy, R. K. "每个数都可以表示为多少个多边形数的和?" Amer. Math. Monthly 101, 169-172, 1994a.Guy, R. K. "平方和。" §C20 in 数论中未解决的问题,第 2 版。 New York: Springer-Verlag, pp. 136-138, 1994b.Legendre, A.-M. 数论,第 4 版,共 2 卷。 Paris: A. Blanchard, 1979.Sloane, N. J. A. 序列 A000384/M4108 和 A007527/M3739,收录于 "整数序列在线百科全书"。

在 Wolfram|Alpha 中引用

六边形数

请这样引用

Weisstein, Eric W. “六边形数。” 来自 MathWorld—— Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HexagonalNumber.html

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