梅森数

梅森数是形如

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的数，其中 是一个整数。梅森数由二进制表示中全部为 1 的数字组成，因此是二进制重覆单位数。前几个梅森数是 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, ... (OEIS A000225)，对应于二进制中的 , , , , ...。

梅森数也是通过在费马多项式中设置 获得的数。它们也对应于康宁汉数 。

梅森数 的位数 为

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其中 是向下取整函数，对于大的 ，给出

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的位数与 的位数相同，即 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, ... (OEIS A034887)。 的十进制位数（对于 , 1, ...）由 1, 4, 31, 302, 3011, 30103, 301030, 3010300, 30103000, 301029996, ... (OEIS A114475) 给出，这对应于 (OEIS A007524) 的十进制展开。

对于 , 2, ...， 的素因子数是 0, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 2, 3, 2, 5, 1, 3, 3, 4, 1, 6, ... (OEIS A046051)，前几个分解式为

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(OEIS A001265)。给出半素数的梅森数指标为 4, 9, 11, 23, 37, 41, 49, 59, 67, 83, ... (OEIS A085724)。截至 2022 年，已知给出半素数的最大指标为 1427 和 1487。

因此，整除 的最小素数是 1, 3, 7, 3, 31, 3, 127, 3, 7, 3, 23, 3, 8191, ... (OEIS A049479)，最大的是 1, 3, 7, 5, 31, 7, 127, 17, 73, 31, 89, 13, 8191, ... (OEIS A005420)。

为了使梅森数 为素数， 必须是素数。这是成立的，因为对于合数 ，其因子为 和 ，。因此， 可以写成 ，这是一个二项式数，可以被分解。由于对梅森数的大部分兴趣来自于尝试分解它们，许多作者更喜欢将梅森数定义为上述形式的数

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但 仅限于素数值。

所有已知的 （其中 为素数）都是无平方数。然而，Guy (1994) 认为存在不是无平方数的 。

寻找梅森素数是计算量最大且积极追求的高级和分布式计算领域之一。Edgington 维护着素数 的 的已知因式分解列表。