奇完全数

在《几何原本》卷九中，欧几里得给出了一种构造完全数的方法（Dickson 2005, p. 3），尽管此方法仅适用于偶完全数。在 1638 年写给梅森的信中，笛卡尔提出每个偶完全数都符合欧几里得的形式，并表示他看不出奇完全数不可能存在的理由（Dickson 2005, p. 12）。因此，笛卡尔是最早考虑奇完全数存在性的人之一；在笛卡尔之前，许多作者都隐含地（未经证明地）假定，欧几里得构造法生成的完全数包含了所有可能的完全数（Dickson 2005, pp. 6-12）。1657 年，弗renicle 重复了笛卡尔的观点，即每个偶完全数都符合欧几里得的形式，并且没有理由认为奇完全数不可能存在。与弗renicle 一样，欧拉也考虑了奇完全数。

至今，尚不清楚是否存在奇完全数，尽管已对高达 的数进行了检查，但均未成功，这使得奇完全数的可能性看起来不大 (Ochem and Rao 2012)。下表总结了最小可能奇完全数的更高上限的发展历程。

作者	上限
Kanold (1957)
Tuckerman (1973)
Hagis (1973)
Brent 和 Cohen (1989)
Brent 等人 (1991)
Ochem 和 Rao (2012)

欧拉证明，如果奇完全数存在，则它必须具有以下形式

(1)

其中 是 形式的素数（费马 4n+1 定理；Burton 1989），这个结果类似于 Frenicle 在 1657 年得出的结果 (Dickson 2005, pp. 14 和 19)。换句话说，奇完全数必须具有以下形式

(2)

对于不同的奇素数 , , ..., ，其中 (mod 4)。Steuerwald (1937) 随后证明，s 不能全部为 1 (Yamada 2005)。

Touchard (1953) 证明，如果奇完全数存在，则它必须具有 或 的形式 (Holdener 2002)。

1896 年，Stuyvaert 指出，奇完全数必须是两个平方数之和 (Dickson 2005, p. 28)。1887 年，Sylvester 猜想，1925 年，Gradshtein 证明，任何奇完全数都必须至少有六个不同的素因子 (Ball and Coxeter 1987)。Hagis (1980) 表明，奇完全数必须至少有八个不同的素因子，在这种情况下，该数可被 15 整除 (Voight 2003)。

1888 年，Catalan 证明，如果一个奇完全数不能被 3、5 或 7 整除，则它至少有 26 个不同的素因子，Norton (1960) 将此扩展到 27 个。Norton (1960) 表明，不能被 3 或 5 整除的奇完全数，必须至少有 15 个不同的素因子。Neilsen (2006) 改进了 Hagis (1980) 的上限，表明如果一个奇完全数不能被 3 整除，则它必须至少有 12 个不同的素因子。Nielsen (2006) 还表明，一般的奇完全数，如果存在，则必须至少有 9 个不同的素因子。

最近，Hare (2005) 表明，任何奇完全数都必须有 75 个或更多素因子。改进此上限需要分解几个大数 (Hare)，目前正在尝试使用椭圆曲线分解法在以下网址执行这些分解：mersenneforum.org和OddPerfect.org。Ochem 和 Rao (2012) 随后表明，任何奇完全数都至少有 101 个素因子（不一定不同）。

对于奇完全数的最大素因子，Iannucci (1999, 2000) 和 Jenkins (2003) 致力于寻找下限。最大的三个因子必须至少为 100000007、10007 和 101。Goto 和 Ohno (2006) 验证了使用 Jenkins 方法的扩展，最大因子必须至少为 100000007。Ochem 和 Rao (2012) 随后表明，最大分量（即除数 ，其中 为素数）大于 。

对于所有偶数幂都小于 6 的奇完全数的最小素因子，Yamada (2005) 确定了上限为

对于任何具有 个素因子且 的奇完全数，Kishore (1981) 通过证明以下内容，建立了奇完全数小因子的上限：

(3)