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超完全数

一个数 n 满足

sigma^2(n)=sigma(sigma(n))=2n,

其中 sigma(n) 是 除数函数，被称为超完全数。 偶 超完全数即为 2^(p-1)，其中 M_p=2^p-1 是 梅森素数。如果存在 奇 超完全数，它们是 平方数 且 n 或 sigma(n) 可被至少三个不同的 素数 整除。

更一般地，一个 m-超完全数（或 (m, 2)-超完全数）是指满足 sigma^m(n)=2n 的数，而一个 (m,k)-完全数是指满足 sigma^m(n)=kn 的数 n。可以使用以下 Wolfram 语言 代码来测试一个数 n 是否为 (m,k)-完全数

  SuperperfectQ[m_, n_, k_:2] :=
    Nest[DivisorSigma[1, #]&, n, m] == k n

前几个 (2, 2)-完全数是 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, ... (OEIS A019279; Cohen and te Riele 1996)。对于 m>=3，不存在 偶数 m-超完全数 (Guy 1994, p. 65)。基于计算机搜索，J. McCranie 已经表明，对于任何 (m,2)-超完全数都小于 4.29×10^9，其中 m>=3 (McCranie, 私人通讯, 11 月 11 日, 2001)。McCranie 进一步认为对于 (m,2)-超完全数，m>3 不存在，因为对于该范围内的所有 n，sigma^4(n)>3m。

参见

除数函数, 梅森数, 完全数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Cohen, G. L. and te Riele, J. J. "Iterating the Sum-of-Divisors Function." Experim. Math. 5, 93-100, 1996.Guy, R. K. "Superperfect Numbers." §B9 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 65-66, 1994.Kanold, H.-J. "Über 'Super Perfect Numbers.' " Elem. Math. 24, 61-62, 1969.Lord, G. "Even Perfect and Superperfect Numbers." Elem. Math. 30, 87-88, 1975.Sloane, N. J. A. Sequence A019279 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Suryanarayana, D. "Super Perfect Numbers." Elem. Math. 24, 16-17, 1969.Suryanarayana, D. "There Is No Odd Super Perfect Number of the Form p^(2alpha)." Elem. Math. 24, 148-150, 1973.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

超完全数

请引用为

Weisstein, Eric W.. “超完全数”. 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/SuperperfectNumber.html

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