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超完全数

一个数 n 被称为 k-超完全数，如果

n=1+ksum_(i)d_i
(1)
=1+k[sigma(n)-n-1],
(2)

其中 sigma(n) 是 除数函数，求和是对 真因子 进行的，且满足 1<d_i<n。整理得到

ksigma(n)=(k+1)n+k-1.
(3)

令 k=1 得到通常的 完全数。

如果 k>1 是一个奇整数，且 p=(3k+1)/2 和 q=3k+4=2p+3 是素数，那么 p^2q 是 k-超完全数。McCranie (2000) 推测对于奇数 k>1，所有 k-超完全数实际上都是这种形式。类似地，如果 p 和 q 是不同的奇素数，且对于某个整数 k，k(p+q)=pq-1 成立，那么 n=pq 是 k-超完全数。最后，如果 k>0 且 p=k+1 是素数，那么如果对于某个 i>1<，q=p^i-p+1 是素数，则 n=p^(i-1)q 是 k-超完全数 (McCranie 2000)。

最早的几个超完全数（不包括 完全数）是 21, 301, 325, 697, 1333, ... (OEIS A007592)。如果包括 完全数，最早的几个是 6, 21, 28, 301, 325, 496, ... (OEIS A034897)，它们对应的 k 值是 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (OEIS A034898)。下表给出了对于小的 k 值，最早的几个 k-超完全数。McCranie (2000) 列出了所有小于 10^(11) 的超完全数。

kOEISk-超完全数
1A0003966 ,28, 496, 8128, ...
2A00759321, 2133, 19521, 176661, ...
3325, ...
41950625, 1220640625, ...
6A028499301, 16513, 60110701, ...
10159841, ...
1110693, ...
12A028500697, 2041, 1570153, 62722153, ...

另请参阅

完全数

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参考文献

Guy, R. K. “几乎完全数、拟完全数、伪完全数、调和数、怪异数、多重完全数和超完全数。” §B2 in 数论中未解决的问题，第二版。 New York: Springer-Verlag, pp. 45-53, 1994.McCranie, J. S. "超完全数研究。" J. Integer Sequences 3, No. 00.1.3, 2000. http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/VOL3/mccranie.Minoli, D. "非线性超完全数的问题。" Math. Comput. 34, 639-645, 1980.Roberts, J. 整数的诱惑。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 177, 1992.Sloane, N. J. A. 数列 A000396/M4186, A007592/M5113, A007593/M5121, A028499, A028500, A034897, 和 A034898 在 “在线整数数列百科全书” 中。te Riele, H. J. J. "具有三个不同素因子的超完全数。" Math. Comput. 36, 297-298, 1981.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

超完全数

引用为

Eric W. Weisstein。“超完全数。” 来自 MathWorld—— Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HyperperfectNumber.html

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