Appell 超几何函数

Appell 超几何函数是超几何函数到两个变量的形式扩展，产生四种类型的函数 (Appell 1925; Picard 1880ab, 1881; Goursat 1882; Whittaker and Watson 1990, Ex. 22, p. 300),

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这些双重级数绝对收敛于

${F_1 for |x|<1,|y|<1; F_2 for |x|+|y|<1; F_3 for |x|<1,|y|<1; F_4 for |x|^(1/2)+|y|^(1/2)<1.$

(5)

Appell 在 1880 年定义了这些函数，随后 Picard 在 1881 年对其进行了研究。函数 , , 和可以用二重积分表示为

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(Bailey 1934, pp. 76-77). 对于函数，似乎没有这种类型的简单积分表示 (Bailey 1934, p. 77)。

函数也可以用简单的积分表示

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(Bailey 1934, p. 77), 对于和。

Appell 函数是 Kampé de Fériet 函数的特例，并且是 Horn 函数集中前四个。Appel 函数在 Wolfram 语言中实现为AppellF1[a, b1, b2, c, x, y],AppellF2[a, b1, b2, c1, c2, x, y],AppellF3[a1, a2 b1, b2, c, x, y], 和AppellF4[a, b, c1, c2, x, y].

对于一般的复参数，函数可以写成轮廓积分

(10)

对于 , 其中是伽玛函数，和是与 Meijer G 函数定义中使用的轮廓相关的复杂轮廓。实际上，这四个函数也可以表示为沿 Barnes 型轮廓取得的双重轮廓积分 (Bailey 1934)。

特别地，一般积分

int(a+bsinx+ccosx)^ndx=CF_1(n+1;1/2,1/2;n+2;(a+ccosx+bsinx)/(a-bsqrt(1+(c^2)/(b^2))),(a+ccosx+bsinx)/(a+bsqrt(1+(c^2)/(b^2)))),

(11)

其中

C=sec[x+tan^(-1)(c/b)](a+ccosx+bsinx)^(n+1)[b(n+1)sqrt(1+(c^2)/(b^2))]^(-1)sqrt((b(sqrt(1+(c^2)/(b^2))-sinx)-ccosx)/(bsqrt(1+(c^2)/(b^2))+a))sqrt((b(sqrt(1+(c^2)/(b^2))+sinx)+ccosx)/(bsqrt(1+(c^2)/(b^2))-a)),

(12)

有一个用表示的闭合形式。

产生特别好的包含函数的闭合形式的积分包括

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这些积分出现在计算面积和几何中心时，颅骨曲线的内部区域。

在以下情况下简化为超几何函数

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			(18)

此外，

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			(20)
			(21)

其中是一个超几何函数。

另请参阅

椭圆积分, Horn 函数, 超几何函数, Kampé de Fériet 函数, Lauricella 函数

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更多尝试

参考文献

Appell, P. "Sur les fonctions hypergéométriques de plusieurs variables." In Mémoir. Sci. Math. Paris: Gauthier-Villars, 1925.Appell, P. and Kampé de Fériet, J. Fonctions hypergéométriques et hypersphériques: polynomes d'Hermite. Paris: Gauthier-Villars, 1926.Bailey, W. N. "A Reducible Case of the Fourth Type of Appell's Hypergeometric Functions of Two Variables." Quart. J. Math. (Oxford) 4, 305-308, 1933.Bailey, W. N. "On the Reducibility of Appell's Function

." Quart. J. Math. (Oxford) 5, 291-292, 1934.Bailey, W. N. "Appell's Hypergeometric Functions of Two Variables." Ch. 9 in Generalised Hypergeometric Series. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 73-83 and 99-101, 1935.Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 222 and 224, 1981.Exton, H. Handbook of Hypergeometric Integrals: Theory, Applications, Tables, Computer Programs. Chichester, England: Ellis Horwood, p. 27, 1978.Goursat, E. "Extension du problème de Riemann à des fonctions hypergéométriques de deux variables." Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 95, 903 and 1044, 1882.Ishkhanyan, T. "Hypergeometric Functions: From Euler to Appell and Beyond." Jan. 25, 2024. https://blog.wolfram.com/2024/01/25/hypergeometric-functions-from-euler-to-appell-and-beyond/.Iyanaga, S. and Kawada, Y. (Eds.). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. Cambridge, MA: MIT Press, p. 1461, 1980.Picard, E. "Sur une classe de fonctions de deux variables indépendantes." Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 90, 1119-1121, 1880a.Picard, E. "Sur une extension aux fonctions de deux variables du problème de Riemann relatif aux fonctions hypergéométriques." Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 90, 1267-1269, 1880b.Picard, E. "Sur une extension aux fonctions de deux variables du problème de Riemann relatif aux fonctions hypergéométriques." Ann. Ecole Norm. Sup. (2) 10, 305-322, 1881.Watson, G. N. "The Product of Two Hypergeometric Functions." Proc. London Math. Soc. 20, 189-195, 1922.Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

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Weisstein, Eric W. "Appell 超几何函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/AppellHypergeometricFunction.html

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