特征值

特征值是与线性方程组（即矩阵方程）相关联的一组特殊的标量，有时也称为特征根、特征值 (Hoffman and Kunze 1971)、本征值或隐根 (Marcus and Minc 1988, p. 144)。

系统特征值和特征向量的确定在物理学和工程学中极其重要，它等同于矩阵对角化，并出现在诸如稳定性分析、旋转物体的物理学和振动系统的微小振荡等常见应用中，仅举几例。每个特征值都与相应的所谓特征向量（或一般而言，相应的右特征向量和相应的左特征向量；特征值没有左右之分）。

一个方阵 分解为特征值和特征向量在本工作中称为特征分解，并且只要由 的特征向量组成的矩阵是方阵，这种分解总是可能的，这被称为特征分解定理。

Lanczos 算法是一种用于计算大型对称稀疏矩阵的特征值和特征向量的算法。

设 是由矩阵 表示的线性变换。如果存在一个向量 使得

(1)

对于某个标量 ，则 称为 的特征值，对应的（右）特征向量为 。

设 为一个 方阵

(2)

具有特征值 ，则对应的特征向量满足

(3)

这等价于齐次系统

(4)

方程 (4) 可以紧凑地写成

(5)

其中 是单位矩阵。正如在克莱姆法则中所示，一个线性方程组具有非平凡解当且仅当行列式消失，因此方程 (5) 的解由下式给出

(6)

此方程称为 的特征方程，左侧称为特征多项式。

例如，对于一个 矩阵，特征值为

(7)

它作为特征方程的解出现

(8)

如果所有 特征值都不同，那么将这些值代回会得到 个独立方程，用于每个对应特征向量的 个分量，并且系统被称为非退化的。如果特征值是 重退化的，那么系统被称为退化的，并且特征向量不是线性独立的。在这种情况下，特征向量是正交的这个附加约束，

(9)

其中 是克罗内克 delta，可以应用以产生 个附加约束，从而允许求解特征向量。

特征值可以使用 Wolfram 语言 计算，使用Eigenvalues[矩阵]。特征向量和特征值可以使用命令一起返回Eigensystem[矩阵]。

假设我们知道以下矩阵的特征值

(10)

将常数乘以单位矩阵加到 ，

(11)

所以新的特征值等于旧的加上 。将 乘以常数

(12)

所以新的特征值是旧的乘以 。

现在考虑 的相似变换。设 为 的行列式，则

			(13)
			(14)
			(15)

所以特征值与 的相同。