特征分解

一个方阵 的矩阵分解，分解成所谓的特征值和特征向量，是非常重要的。这种分解通常被称为“矩阵对角化”。然而，这个名称并非最佳，因为所描述的过程实际上是将矩阵分解为其他三个矩阵的乘积，其中只有一个是对角矩阵，而且因为所有其他标准类型的矩阵分解都在其名称中使用术语“分解”，例如，Cholesky 分解，Hessenberg 分解等等。因此，在这项工作中，将矩阵分解为由其特征向量和特征值组成的矩阵称为特征分解。

假设 具有非退化的特征值 和相应的线性独立的特征向量 ，可以表示为

(1)

定义由特征向量组成的矩阵

			(2)
			(3)

和特征值

(4)

其中 是一个对角矩阵。那么

			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
			(9)
			(10)

给出 的惊人分解，分解成一个涉及 和 的相似变换，

(11)

只要 是一个方阵，对于一个方阵 来说，这种分解总是可能的，这在本文中被称为特征分解定理。

此外，等式 (11) 两边平方得到

			(12)
			(13)
			(14)

通过归纳法，可以得出对于一般的正整数幂，

(15)

的逆矩阵是

			(16)
			(17)

其中对角矩阵 的逆矩阵很容易由下式给出

(18)

因此，方程 (◇) 对于负 以及正数都成立。

涉及矩阵 和 的另一个显著结果来自矩阵指数的定义

			(19)
			(20)
			(21)
			(22)

这是正确的，因为 是一个对角矩阵，并且

			(23)
			(24)
			(25)
			(26)

因此，可以使用 找到 。