有限差分

有限差分是导数的离散 аналог（模拟）。函数 的有限前向差分定义为

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有限后向差分定义为

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前向有限差分在 Wolfram 语言中实现为DifferenceDelta[f, i]。

如果值以间距 制表，则使用符号

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。 阶前向差分然后可以写成 ，类似地， 阶后向差分可以写成 。

然而，当 被视为连续函数 的离散化时，有限差分有时写为

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其中 表示卷积， 是奇脉冲对。因此，有限差分算子可以写成

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次幂具有常数 阶有限差分。例如，取 并制作一个差分表，

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列是常数 6。

有限差分公式对于外推有限量的数据以尝试找到通项非常有用。具体来说，如果函数 仅在少数离散值 , 1, 2, ... 处已知，并且希望确定 的解析形式，则如果 被假定为多项式函数，则可以使用以下过程。将感兴趣的序列中的第 个值表示为 。然后将 定义为前向差分 ，将 定义为二阶前向差分 ，等等，构建如下表

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继续计算 、 等，直到获得 0 值。然后，给出值 的多项式函数由下式给出

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当使用符号 、 等时，这个优美的方程称为牛顿前向差分公式。为了看一个具体的例子，考虑一个序列，其前几个值为 1, 19, 143, 607, 1789, 4211 和 8539。然后差分表由下式给出

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读取每行中的第一个数字得到 、、、、。将这些代入得到方程

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它确实完全符合原始数据。

导数的公式由下式给出

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（Beyer 1987, pp. 449-451; Zwillinger 1995, p. 705）。

有限差分积分的公式

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由 Beyer (1987, pp. 455-456) 给出。

有限差分导致差分方程，即微分方程的有限 аналог（模拟）。事实上，影子微积分显示了连续函数的许多优雅 аналог（模拟）的著名恒等式。偏微分方程的常用有限差分格式包括所谓的 Crank-Nicolson、Du Fort-Frankel 和 Laasonen 方法。