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链式法则

如果 g(x) 在点 x 处是可微的，并且 f(x) 在点 g(x) 处是可微的，那么 f degreesg 在 x 处是可微的。此外，设 y=f(g(x)) 并且 u=g(x)，那么

(dy)/(dx)=(dy)/(du)·(du)/(dx).
(1)

有许多相关的结果也以“链式法则”之名出现。例如，如果 z=f(x,y)， x=g(t)， 并且 y=h(t)，那么

(dz)/(dt)=(partialz)/(partialx)(dx)/(dt)+(partialz)/(partialy)(dy)/(dt).
(2)

“广义”链式法则适用于两组函数

y_1=f_1(u_1,...,u_p)
(3)
|
(4)
y_m=f_m(u_1,...,u_p)
(5)

和

u_1=g_1(x_1,...,x_n)
(6)
|
(7)
u_p=g_p(x_1,...,x_n).
(8)

定义 m×n 雅可比旋转矩阵 为

((partialy_i)/(partialx_j))=[(partialy_1)/(partialx_1) (partialy_1)/(partialx_2) ... (partialy_1)/(partialx_n); | | ... |; (partialy_m)/(partialx_1) (partialy_m)/(partialx_2) ... (partialy_m)/(partialx_n)],
(9)

以及类似地对于 (partialy_i/partialu_j) 和 (partialu_i/partialx_j)，则得到

((partialy_i)/(partialx_j))=((partialy_i)/(partialu_i))((partialu_i)/(partialx_j)).
(10)

以微分形式，这变为

dy_1=((partialy_1)/(partialu_1)(partialu_1)/(partialx_1)+...+(partialy_1)/(partialu_p)(partialu_p)/(partialx_1))dx_1+((partialy_1)/(partialu_1)(partialu_1)/(partialx_2)+...+(partialy_1)/(partialu_p)(partialu_p)/(partialx_2))dx_2+...
(11)

(Kaplan 1984)。

另请参阅

导数， 雅可比行列式， 幂法则， 乘积法则， 相关变化率问题 在 教室中探索此主题

使用 探索

参考文献

Anton, H. “链式法则” 和 “链式法则的证明”。§3.5 和 AIII 见 解析几何微积分，第二版。 纽约：Wiley，pp. 165-171 和 A44-A46，1999。Apostol, T. M. “复合函数微分的链式法则” 和 “链式法则的应用。相关变化率和隐式微分。” §4.10-4.11 见 微积分，第二版，第一卷：单变量微积分，线性代数导论。 Waltham, MA: Blaisdell，pp. 174-179，1967。Kaplan, W. “复合函数的导数和微分” 和 “广义链式法则”。§2.8 和 2.9 见 高等微积分，第三版。 Reading, MA: Addison-Wesley，pp. 101-105 和 106-110，1984。

请引用为

Weisstein，Eric W. “链式法则。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ChainRule.html

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