法布鲁诺公式

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法布鲁诺公式给出了复合函数的 n 阶导数的显式方程。如果和是所有必要导数都已定义的函数，则：

(1)

其中，求和是对的所有分划进行的，即满足以下条件 , ..., 的值：

(2)

(Roman 1980)。

它也可以用贝尔多项式表示为：

(3)

(M. Alekseyev, 私人通讯, 2006年11月3日)。

法布鲁诺公式可以被置于一个框架中，该框架是霍普夫代数的一个特例 (Figueroa 和 Gracia-Bondía 2005)。

符号函数和的前几个导数由下式给出：

			(4)
			(5)
			(6)

另请参阅

导数, 霍普夫代数, 莱布尼茨恒等式, 符号微积分

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参考文献

Bertrand, J. 微分与积分学教程, tome I. Paris: Gauthier-Villars, p. 138, 1864.Cesàro, E. "函数的函数的导数." Nouvelles Ann. 4, 41-45, 1885. Reprinted in Opere Scelte, Vol. 1. Rome: Edizioni Cremorese, pp. 416-429, 1964.Comtet, L. 高级组合数学：有限与无限展开的艺术，修订增补版 Dordrecht, Netherlands: Reidel, pp. 137-139, 1974.Dederick. "几个函数的函数的逐次导数." Ann. Math. 27, 385-394, 1926.Faà di Bruno, C. F.. "关于函数展开." Ann. di Scienze Matem. et Fisiche di Tortoloni 6, 479-480, 1855.Faà di Bruno, C. F.. "关于微分计算新公式的注释." Quart. J. Math. 1, 359-360, 1857.Figueroa, H. and Gracia-Bondía, J. M. "量子场论中的组合霍普夫代数 I." 19 Mar 2005. http://arxiv.org/abs/hep-th/0408145.Français, J. F. "超越分析。关于导数计算，追溯到其真正原理，或函数展开理论，以及序列的返回." Ann. Math. 6, 61-111, 1815.Johnson, W. P. "法布鲁诺公式的奇特历史." Amer. Math. Monthly 109, 217-234, 2002.Joni, S. A. and Rota, C.-G. "法布鲁诺双代数." §IX in "Coalgebras and Bialgebras in Combinatorics." Umbral Calculus and Hopf Algebras. Contemp. Math. 6, 18-21, 1982.Jordan, C. 有限差分法，第三版 New York: Chelsea, p. 33, 1965.Knuth, D. E. 计算机程序设计艺术，第 1 卷：基本算法，第三版 Reading, MA: Addison-Wesley, p. 50, 1997.Marchand, E. "关于变量的改变." Ann. École Normale Sup. 3, 137-188 and 343-388, 1886.Riordan, J. 组合分析导论 New York: Wiley, pp. 35-37, 1958.Roman, S. "法布鲁诺公式." Amer. Math. Monthly 87, 805-809, 1980.Teixeira, F. G. "关于任意阶导数." Giornale di Matem. di Battaglini 18, 306-316, 1880.Wall. "关于