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隐式微分


隐式微分是相对于所需变量 x隐式方程 求导的过程,同时将其他变量视为 x 的未指定函数。

例如,隐式方程

 xy=1
(1)

可以解出

 y=1/x
(2)

并直接求导得到

 (dy)/(dx)=-1/(x^2).
(3)

相反,隐式微分得到

d/(dx)[xy]=d/(dx)[1]
(4)
x(dy)/(dx)+y(dx)/(dx)=0
(5)
x(dy)/(dx)+y=0
(6)
(dy)/(dx)=-y/x.
(7)

代入 y=1/x 验证了这种方法给出了与之前相同的结果。

当需要 y^'(x) 但难以或不方便求解 y 关于 x 的表达式时,隐式微分尤其有用。


另请参阅

导数, 微分 在 MathWorld 课堂中探索此主题

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Anton, H. “隐式微分”。《微积分:新的视野,第 6 版》§3.6。纽约:Wiley,1999 年。

在 Wolfram|Alpha 中引用

隐式微分

请引用为

Weisstein, Eric W. “隐式微分。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ImplicitDifferentiation.html

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