魏尔斯特拉斯函数

病态函数

(最初为定义的) 函数，它连续但仅在可微测度为零的点集上测度为零。上面的图显示了，分别为 (红色), 3 (绿色) 和 4 (蓝色)。

该函数由魏尔斯特拉斯发表，但根据克罗内克和魏尔斯特拉斯的讲座和著作，黎曼似乎早在 1861 年就声称函数在实数域的稠密集合上不可微。然而，Ullrich (1997) 指出，没有足够的证据来确定黎曼是否真的费心为这一说法给出了详细的证明。du Bois-Reymond (1875) 未经证明地声明，的每个区间都包含不具有有限导数的点，而 Hardy (1916) 证明它在任何无理点和一些有理点上都不具有有限导数。Gerver (1970) 和 Smith (1972) 随后证明，在点集处具有有限导数（即 1/2），其中和是整数。Gerver (1971) 然后证明，在任何形式为或的点处都不可微。加上 Hardy 关于在任何无理值处都不可微的结果，这完全解决了的可微性问题。

令人惊讶的是，对于有理数，的值可以精确计算为

f(p/q)=pi/(4q^2)sum_(k=1)^(q-1)(sin((k^2ppi)/q))/(sin^2((kpi)/(2q))).

另请参阅

布朗芒格函数, 连续函数, 可微, 实分析怪物, 处处不可微函数

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参考文献

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魏尔斯特拉斯函数

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Weisstein, Eric W. “魏尔斯特拉斯函数。” 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/WeierstrassFunction.html

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