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反双曲函数

反双曲函数，有时也称为面积双曲函数（Spanier 和 Oldham 1987，第 263 页），是多值函数，它们是反函数，指双曲函数的反函数。 它们用符号 反余弦函数z、 反余切函数z、 反余割函数z、 反正割函数z、 反正弦函数z 和 反正切函数z 表示。 以大写字母开头的这些符号的变体通常用于表示它们的主值（例如，Harris 和 Stocker 1998，第 263 页）。

这些函数是多值的，因此在复平面中需要分支切割。 可能存在不同的分支切割约定，但这项工作中采用的约定遵循 Wolfram 语言 使用的约定，如下总结。

函数名函数Wolfram 语言分支切割
反双曲余割csch^(-1)zArcCsch[z](-i,i)
反双曲余弦cosh^(-1)zArcCosh[z](-infty,1)
反双曲余切coth^(-1)zArcCoth[z][-1,1]
反双曲正割sech^(-1)zArcSech[z](-infty,0] 和 (1,infty)
反双曲正弦sinh^(-1)zArcSinh[z](-iinfty,-i) 和 (i,iinfty)
反双曲正切tanh^(-1)zArcTanh[z](-infty,-1] 和 [1,infty)
InverseHyperbolicFunctions

如本文所定义的反双曲函数，在实数线 R 上的定义域具有以下值域，同样遵循 Wolfram 语言 的约定。

函数名函数定义域值域
反双曲余割csch^(-1)x(-infty,infty)(-infty,infty)
反双曲余弦cosh^(-1)x[1,infty)[0,infty)
反双曲余切coth^(-1)x(-infty,-1) 或 (1,infty)(-infty,infty)
反双曲正割sech^(-1)x(0,1][0,infty)
反双曲正弦sinh^(-1)x(-infty,infty)(-infty,infty)
反双曲正切tanh^(-1)x(-1,1)(-infty,infty)

它们在复平面中定义为

sinh^(-1)z=ln(z+sqrt(z^2+1))
(1)
cosh^(-1)z=ln(z+sqrt(z-1)sqrt(z+1))
(2)
tanh^(-1)z=1/2[ln(1+z)-ln(1-z)]
(3)
csch^(-1)z=ln(sqrt(1+1/(z^2))+1/z)
(4)
sech^(-1)z=ln(sqrt(1/z-1)sqrt(1+1/z)+1/z)
(5)
coth^(-1)z=1/2[ln(1+1/z)-ln(1-1/z)].
(6)

另请参阅

双曲函数, 反函数, 反双曲余割, 反双曲余弦, 反双曲余切, 反双曲正割, 反双曲正弦, 反双曲正切, 反三角函数

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). "Inverse Hyperbolic Functions." §4.6 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 86-89, 1972.Beyer, W. H. "Inverse Hyperbolic Functions." CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 181-186, 1987.Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, 2000.Harris, J. W. 和 Stocker, H. "Area Hyperbolic Functions." Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, pp. 263-273, 1998.Jeffrey, A. "Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions." §2.7 in Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 124-128, 2000.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "The Inverse Hyperbolic Functions." Ch. 31 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 285-293, 1987.Trott, M. "Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions." §2.2.5 in The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, pp. 180-191, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Zwillinger, D. (编). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

反双曲函数

请这样引用

韦斯坦, 埃里克·W. "Inverse Hyperbolic Functions." 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/InverseHyperbolicFunctions.html

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