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反余切

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反余切是多值函数 cot^(-1)z (Zwillinger 1995, p. 465)，也表示为 arccotz (Abramowitz and Stegun 1972, p. 79; Harris and Stocker 1998, p. 311; Jeffrey 2000, p. 124) 或 arcctgz (Spanier and Oldham 1987, p. 333; Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. 208; Jeffrey 2000, p. 127)，它是余切的反函数。变体 Arccotz (例如，Beyer 1987, p. 141; Bronshtein and Semendyayev, 1997, p. 70) 和 Cot^(-1)z 有时用于指代反余切的显式主值，尽管这种区分并不总是被做出 (例如，Zwillinger 1995, p. 466)。更糟糕的是，符号 arccotz 有时用于主值，而 Arccotz 用于多值函数 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 80)。请注意，在符号 cot^(-1)z (在北美和全球袖珍计算器中常用) 中，cotz 是余切，而上标 -1 表示反函数，不是乘法逆元。

反余切的主值在 Wolfram 语言中实现为ArcCot[z].

InverseCotangentBranchCut

定义反余切至少有两种可能的约定。这项工作遵循 Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 79) 以及 Wolfram 语言的约定，取 cot^(-1)x 的范围为 (-pi/2,pi/2]，在 x=0 处不连续，并且分支切割线段沿着 (-i,i) 放置。这个定义可以用自然对数表示为

cot^(-1)z=i/2[ln((z-i)/z)-ln((z+i)/z)].
(1)

正如它必须的那样，这个定义也与 Wolfram 语言对以下项的定义一致ArcTan，因此ArcCot[z] 等于ArcTan[1/z].

另一种不同但常见的约定 (例如，Zwillinger 1995, p. 466; Bronshtein and Semendyayev, 1997, p. 70; Jeffrey 2000, p. 125) 将 cot^(-1)x 的范围定义为 (0,pi)，从而给出一个在实数线 R 上连续的函数。在检查涉及反三角函数的恒等式时，应格外小心，因为它们的适用范围或精确形式可能因所使用的约定而异。

cot^(-1)z 的导数由下式给出

d/(dz)cot^(-1)z=-1/(1+z^2)
(2)

积分由下式给出

intcot^(-1)zdz=zcot^(-1)z+1/2ln(1+z^2)+C.
(3)

当 x>0 时，反余切的麦克劳林级数由下式给出

cot^(-1)x=pi/2-sum_(k=0)^(infty)((-1)^kx^(2k+1))/(2k+1)
(4)
=pi/2-x+1/3x^3-1/5x^5+1/7x^7-1/9x^9+...
(5)

(OEIS A005408)。关于 z=infty 的洛朗级数由下式给出

cot^(-1)z=sum_(k=0)^(infty)((-1)^kz^(-(2k+1)))/(2k+1)
(6)
=z^(-1)-1/3z^(-3)+1/5z^(-5)-1/7z^(-7)+1/9z^(-9)+...
(7)

对于 |z|>1。

欧拉推导出了无穷级数

cot^(-1)z=zsum_(n=1)^infty((2n-2)!!)/((2n-1)!!(z^2+1)^n)
(8)

(Wetherfield 1996).

反余切满足

cot^(-1)z=tan^(-1)(1/z)
(9)

对于 z!=0，

cot^(-1)z=-cot^(-1)(-z)
(10)

对于所有 z in C^*，并且

cot^(-1)x={sec^(-1)((sqrt(x^2+1))/x)-pi for x<0; sec^(-1)((sqrt(x^2+1))/x) for x>0
(11)
={-1/2pi-tan^(-1)x for x<0; 1/2pi-tan^(-1)x for x>=0
(12)
={-sin^(-1)(1/(sqrt(x^2+1))) for x<0; sin^(-1)(1/(sqrt(x^2+1))) for x>0
(13)
={-1/2pi-cot^(-1)(1/x) for x<0; 1/2pi-cot^(-1)(1/x) for x>0
(14)
={-csc^(-1)(sqrt(x^2+1)) for x<0; csc^(-1)(sqrt(x^2+1)) for x>0
(15)
={cos^(-1)(x/(sqrt(x^2+1)))-pi for x<0; cos^(-1)(x/(sqrt(x^2+1))) for x>0
(16)
={-1/2pi-sin^(-1)(x/(sqrt(x^2+1))) for x<0; 1/2pi-sin^(-1)(x/(sqrt(x^2+1))) for x>0.
(17)

余切的解析和包括以下优美的结果

sum_(n=1)^inftycot^(-1)n^2=cot^(-1)((1+t)/(1-t))=1.42474...,
(18)

(OEIS A091007)，其中

t=cot(1/2pisqrt(2))tanh(1/2pisqrt(2))
(19)

(H. S. Wilf, pers. comm., May 21, 2002).

一个数

t_x=cot^(-1)x,
(20)

其中 x 是一个整数或有理数，有时被称为格雷果里数。Lehmer (1938a) 表明，cot^(-1)(a/b) 可以表示为整数参数的反余切的有限和

cot^(-1)(a/b)=sum_(i=1)^k(-1)^(i-1)cot^(-1)n_i,
(21)

其中

n_i=|_(a_i)/(b_i)_|,
(22)

其中 |_x_| 是向下取整函数，并且

a_(i+1)=a_in+i+b_i
(23)
b_(i+1)=a_i-n_ib_i,
(24)

其中 a_0=a 且 b_0=b，并且递归持续到 b_(k+1)=0。如果一个反正切和写成

tan^(-1)n=sum_(k=1)f_ktan^(-1)n_k+ftan^(-1)1,
(25)

那么方程 (◇) 变为

cot^(-1)n=sum_(k=1)f_kcot^(-1)n_k+ccot^(-1)1,
(26)

其中

c=2-f-2sum_(k=1)f_k.
(27)

反余切和可以用于生成类马钦公式。

其他反余切恒等式包括

2cot^(-1)(2x)-cot^(-1)x=cot^(-1)(4x^3+3x)
(28)
3cot^(-1)(3x)-cot^(-1)x=cot^(-1)((27x^4+18x^2-1)/(8x)),
(29)

以及许多其他恒等式 (Bennett 1926, Lehmer 1938b)。请注意，对于方程 (29)，cot^(-1)z 的约定选择很重要，因为它在 [0,pi] 约定中对所有复数 z 成立，但在 [-pi/2,pi/2] 约定中，仅在以原点为中心的透镜形区域之外成立。

另请参阅

余切, 反余割, 反余弦, 反正割, 反正弦, 反正切, 反三角函数, Lehmer 余切展开, 马钦公式, 类马钦公式, 正切

相关 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcCot/

使用 探索

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Inverse Circular Functions." §4.4 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 79-83, 1972.Bennett, A. A. "The Four Term Diophantine Arccotangent Relation." Ann. Math. 27, 21-24, 1926.Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 142-143, 1987.Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. Handbook of Mathematics, 3rd ed. New York: Springer-Verlag, p. 70, 1997.Castellanos, D. "The Ubiquitous Pi. Part I." Math. Mag. 61, 67-98, 1988a.Castellanos, D. "The Ubiquitous Pi. Part II." Math. Mag. 61, 148-163, 1988b.Harris, J. W. and Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 311, 1998.Jeffrey, A. "Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions." §2.7 in Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 124-128, 2000.Lehmer, D. H. "A Cotangent Analogue of Continued Fractions." Duke Math. J. 4, 323-340, 1938a.Lehmer, D. H. "On Arccotangent Relations for pi." Amer. Math. Monthly 45, 657-664, 1938b.Sloane, N. J. A. Sequences A005408/M2400 and A091007 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. and Oldham, K. B. "Inverse Trigonometric Functions." Ch. 35 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 331-341, 1987.Wetherfield, M. "The Enhancement of Machin's Formula by Todd's Process." Math. Gaz. 80, 333-344, 1996.Zwillinger, D. (Ed.). "Inverse Circular Functions." §6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 465-467, 1995.

在 中被引用

反余切

请这样引用

Weisstein, Eric W. “反余切。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/InverseCotangent.html

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