反余切

	最小值	最大值
实部
虚部

反余切是多值函数 (Zwillinger 1995, p. 465)，也表示为 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 79; Harris and Stocker 1998, p. 311; Jeffrey 2000, p. 124) 或 (Spanier and Oldham 1987, p. 333; Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. 208; Jeffrey 2000, p. 127)，它是余切的反函数。变体 (例如，Beyer 1987, p. 141; Bronshtein and Semendyayev, 1997, p. 70) 和有时用于指代反余切的显式主值，尽管这种区分并不总是被做出 (例如，Zwillinger 1995, p. 466)。更糟糕的是，符号有时用于主值，而用于多值函数 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 80)。请注意，在符号 (在北美和全球袖珍计算器中常用) 中，是余切，而上标表示反函数，不是乘法逆元。

反余切的主值在 Wolfram 语言中实现为ArcCot[z].

定义反余切至少有两种可能的约定。这项工作遵循 Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 79) 以及 Wolfram 语言的约定，取的范围为，在处不连续，并且分支切割线段沿着放置。这个定义可以用自然对数表示为

(1)

正如它必须的那样，这个定义也与 Wolfram 语言对以下项的定义一致ArcTan，因此ArcCot[z] 等于ArcTan[1/z].

另一种不同但常见的约定 (例如，Zwillinger 1995, p. 466; Bronshtein and Semendyayev, 1997, p. 70; Jeffrey 2000, p. 125) 将的范围定义为，从而给出一个在实数线上连续的函数。在检查涉及反三角函数的恒等式时，应格外小心，因为它们的适用范围或精确形式可能因所使用的约定而异。

的导数由下式给出

(2)

积分由下式给出

(3)

当时，反余切的麦克劳林级数由下式给出

			(4)
			(5)

(OEIS A005408)。关于的洛朗级数由下式给出

			(6)
			(7)

对于。

欧拉推导出了无穷级数

(8)

(Wetherfield 1996).

反余切满足

(9)

对于，

(10)

对于所有，并且

		${sec^(-1)((sqrt(x^2+1))/x)-pi for x<0; sec^(-1)((sqrt(x^2+1))/x) for x>0$	(11)
		${-1/2pi-tan^(-1)x for x<0; 1/2pi-tan^(-1)x for x>=0$	(12)
		${-sin^(-1)(1/(sqrt(x^2+1))) for x<0; sin^(-1)(1/(sqrt(x^2+1))) for x>0$	(13)
		${-1/2pi-cot^(-1)(1/x) for x<0; 1/2pi-cot^(-1)(1/x) for x>0$	(14)
		${-csc^(-1)(sqrt(x^2+1)) for x<0; csc^(-1)(sqrt(x^2+1)) for x>0$	(15)
		${cos^(-1)(x/(sqrt(x^2+1)))-pi for x<0; cos^(-1)(x/(sqrt(x^2+1))) for x>0$	(16)
		${-1/2pi-sin^(-1)(x/(sqrt(x^2+1))) for x<0; 1/2pi-sin^(-1)(x/(sqrt(x^2+1))) for x>0.$	(17)

余切的解析和包括以下优美的结果

(18)

(OEIS A091007)，其中

(19)

(H. S. Wilf, pers. comm., May 21, 2002).

一个数

(20)

其中是一个整数或有理数，有时被称为格雷果里数。Lehmer (1938a) 表明，可以表示为整数参数的反余切的有限和

(21)

其中

(22)

其中是向下取整函数，并且

			(23)
			(24)

其中且，并且递归持续到。如果一个反正切和写成

(25)

那么方程 (◇) 变为

(26)

其中

(27)

反余切和可以用于生成类马钦公式。

其他反余切恒等式包括

			(28)
			(29)

以及许多其他恒等式 (Bennett 1926, Lehmer 1938b)。请注意，对于方程 (29)，的约定选择很重要，因为它在约定中对所有复数成立，但在约定中，仅在以原点为中心的透镜形区域之外成立。

另请参阅

余切, 反余割, 反余弦, 反正割, 反正弦, 反正切, 反三角函数, Lehmer 余切展开, 马钦公式, 类马钦公式, 正切

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更多尝试

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Inverse Circular Functions." §4.4 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 79-83, 1972.Bennett, A. A. "The Four Term Diophantine Arccotangent Relation." Ann. Math. 27, 21-24, 1926.Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 142-143, 1987.Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. Handbook of Mathematics, 3rd ed. New York: Springer-Verlag, p. 70, 1997.Castellanos, D. "The Ubiquitous Pi. Part I." Math. Mag. 61, 67-98, 1988a.Castellanos, D. "The Ubiquitous Pi. Part II." Math. Mag. 61, 148-163, 1988b.Harris, J. W. and Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 311, 1998.Jeffrey, A. "Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions." §2.7 in Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 124-128, 2000.Lehmer, D. H. "A Cotangent Analogue of Continued Fractions." Duke Math. J. 4, 323-340, 1938a.Lehmer, D. H. "On Arccotangent Relations for

." Amer. Math. Monthly 45, 657-664, 1938b.Sloane, N. J. A. Sequences A005408/M2400 and A091007 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. and Oldham, K. B. "Inverse Trigonometric Functions." Ch. 35 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 331-341, 1987.Wetherfield, M. "The Enhancement of Machin's Formula by Todd's Process." Math. Gaz. 80, 333-344, 1996.Zwillinger, D. (Ed.). "Inverse Circular Functions." §6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 465-467, 1995.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

反余切

请这样引用

Weisstein, Eric W. “反余切。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/InverseCotangent.html

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