反sec函数 -- 来自 Wolfram MathWorld

反sec函数

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反sec函数 (Zwillinger 1995, p. 465)，也表示为 (Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 79；Harris 和 Stocker 1998, p. 315；Jeffrey 2000, p. 124)，是正割函数的反函数。变体 (Beyer 1987, p. 141) 和有时用于指示主值，尽管这种区分并非总是明确的 (例如，Zwillinger 1995, p. 466)。更糟糕的是，符号有时用于表示主值，而用于表示多值函数 (Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 80)。在符号 (在北美和全球袖珍计算器中常用) 中，是正割函数，而上标表示反函数，而非乘法逆元。

反sec函数的主值在 Wolfram 语言中实现为ArcSec[z] 在 Wolfram 语言中。

反sec函数是一个多值函数，因此在复平面中需要一个分支切割，Wolfram 语言的约定将其放置在。这遵循的定义，即

(1)

的导数是

(2)

化简为

(3)

对于。不定积分是

(4)

化简为

(5)

对于。

反sec函数在无穷远处有泰勒级数展开式

			(6)
			(7)

(OEIS A055786 和 A002595)。

反sec函数满足

(8)

对于，以及

			(9)
			(10)
			(11)

对于所有复数。它可以通过其他反三角函数表示为

		${pi+csc^(-1)(x/(sqrt(x^2-1))) for x<-1; csc^(-1)(x/(sqrt(x^2-1))) for x>1$	(12)
		${pi-cot^(-1)(1/(sqrt(x^2-1))) for x<-1; cot^(-1)(1/(sqrt(x^2-1))) for x>1$	(13)
		${pi+sin^(-1)((sqrt(x^2-1))/x) for x<-1; sin^(-1)((sqrt(x^2-1))/x) for x>1$	(14)
		${pi-tan^(-1)(sqrt(x^2-1)) for x<-1; tan^(-1)(sqrt(x^2-1)) for x>1.$	(15)

参考文献