间断

间断是指数学对象不连续的点。上面的左图展示了一个单变量函数的间断，而右图展示了一个双变量函数的间断，该函数被绘制为 中的曲面。在后一种情况下，间断是沿着 自然对数 的负 实轴 的 支割线，其中 为复数。

一些作者将函数的不连续性称为跳跃，尽管这在文献中很少使用。

尽管定义相同，单变量函数的间断与多变量函数的间断有很大不同。这些情况之间的主要区别之一在于对间断进行分类，这是一个在下面更详细讨论的注意事项。

对于单变量实值函数 的情况，恰好有三种可能发生的间断类型。

1. 最简单的类型是所谓的可去间断点。

2. 单变量函数 也可能具有所谓的跳跃间断点（不要与上面提到的很少使用的术语跳跃混淆）。这种间断在代数上比可去间断点更复杂，但在某种意义上，仍然是一种“不算太糟糕”的间断。特别是，单变量单调函数最多可以有可数个间断点 (Royden and Fitzpatrick 2010)，其中最坏的情况可能是跳跃间断点 (Zakon 2004)。

3. 单变量函数可能拥有的“最坏”的间断类型是所谓的无穷间断点。

即使有了这种分类，单变量实值函数的间断点集也可能比预期的更奇怪。实际上，函数可能在点的有限集、点的可数集（可能是孤立的或稠密的）以及其定义域的不可数真子集上不连续。其他函数，例如狄利克雷函数，则处处不连续。即便如此，函数间断点集的大小可以说明其解析性质。例如，勒贝格定理指出，定义在有界区间上的有界单变量实值函数是Riemann 可积的，当且仅当它几乎处处连续 (Royden and Fitzpatrick 2010)；类似地，定义在开区间上的单变量单调实值函数的间断点集最多是其定义域的可数子集。

然而，对于两个或多个变量的函数，不可能进行简单的间断分类。有许多注意事项阻碍了对多变量函数间断的任何分类，其中最主要的是多变量函数在间断点既不需要跳跃也不需要“爆破” (Lady 1998)。更重要的是，多变量函数的间断可能沿着平面中的整个曲线而不是在单个点上发生。下面显示了不连续行为的各种示例。

上面的两个函数在原点都具有无穷间断点。最左边的例子是函数 ，它具有以下性质：当 接近 时， 的每个方向极限都趋于 。另一方面，最右边的函数是

(1)

一个函数，当 时也具有间断点，并且 的极限不存在。函数 表示通过将函数 绕 轴旋转获得的曲面。

上图中显示的两个函数在某些方面类似于上面描述的函数 和 。更准确地说，左侧的函数 沿着整条直线 具有无穷间断点，并且 的极限从该直线的两侧都趋于 。另一方面，右侧的函数 沿同一条直线也具有无穷间断点，但是 的值的极限在该直线的两侧不一致。

上面显示的函数是分段函数

(2)

特别注意， 在 和 中分别都是单调的，并且沿着整条直线 具有跳跃间断点。这与上面讨论的单变量情况形成鲜明对比。

函数 定义为

(3)

在紧接上方的图中显示。与先前定义的函数 和 类似，函数 在点 处有一个间断点，但与那些函数不同， 的点间断更难识别。观察和理解 的间断的一种方法是将 转换为极坐标 和 的函数，结果得到函数 ，其形式为

(4)

除其他外，上面的表达式 (3) 表明 (以及 ) 在所有通过原点的直线上都是常数 (Lady 1998)，从而证实了那里存在间断点。这个例子也不同于为单变量函数概述的情况，因为它的间断是本质的（即，它是不可去的），既不是跳跃间断点也不是无穷间断点。

尽管在连续性方面表现非常不同，但任何维度中所有实值函数的间断点集都具有某些共同的性质。例如，这种函数的间断点集合始终是一个 集；这是因为函数连续的所有点的集合形成一个 集 (Royden and Fitzpatrick 2010)。