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反双曲正弦

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反双曲正弦 sinh^(-1)z (Beyer 1987, p. 181; Zwillinger 1995, p. 481)，有时称为面积双曲正弦（Harris 和 Stocker 1998, p. 264），是 多值函数，它是 反函数 双曲正弦。

变体 Arcsinhz 或 Arsinhz (Harris 和 Stocker 1998, p. 263) 有时用于指代反双曲正弦的显式 主值，尽管这种区分并不总是明确的。更糟糕的是，符号 arcsinhz 有时用于主值，而 Arcsinhz 用于多值函数 (Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 87)。符号 arcsinhz (Jeffrey 2000, p. 124) 和 Arshz (Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. xxx) 有时也使用。请注意，在符号 sinh^(-1)z 中，sinhz 是 双曲正弦，而上标 -1 表示 反函数，不是 乘法逆元。

它的 主值 sinh^(-1)z 在 Wolfram 语言 中实现为ArcSinh[z]，在 GNU C 库中实现为asinh(double x)。

InverseHyperbolicSineBranchCut

反双曲正弦是 多值函数，因此在 复平面 中需要 分支切割线，Wolfram 语言 的约定将其放置在线段 (-iinfty,-i) 和 (i,iinfty)。这源于反双曲正弦的定义为

sinh^(-1)z=ln(z+sqrt(1+z^2)).
(1)

反双曲正弦可以用 反函数 表示为

sinh^(-1)z=1/isin^(-1)(iz)
(2)

(Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. xxx)。

反双曲正弦的 导数 为

d/(dz)sinh^(-1)z=1/(sqrt(1+z^2)),
(3)

且 不定积分 为

intsinh^(-1)zdz=zsinh^(-1)z-sqrt(1+z^2)+C.
(4)

它有麦克劳林级数

sinh^(-1)x=sum_(k=1)^(infty)(P_(k-1)(0))/kx^k
(5)
=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n(2n-1)!!)/((2n+1)(2n)!!)x^(2n+1)
(6)
=x-1/6x^3+3/(40)x^5-5/(112)x^7+(35)/(1152)x^9+...
(7)

(OEIS A055786 和 A002595)，其中 P_n(x) 是 勒让德多项式。它在无穷远处有泰勒级数展开式

sinh^(-1)x=-ln(x^(-1))+ln2+sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1)(2n-1)!!)/(2n(2n)!!)x^(-2n)
(8)
=-ln(x^(-1))+ln2+1/4x^(-2)-3/(32)x^(-4)+5/(96)x^(-6)-...
(9)

(OEIS A052468 和 A052469)。

另请参阅

双曲正弦, 反双曲函数

相关 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcSinh/

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "Inverse Circular Functions." §4.4 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 79-83, 1972.Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 142-143, 1987.GNU C Library. "Mathematics: Inverse Trigonometric Functions." https://gnu.ac.cn/manual/glibc-2.2.3/html_chapter/libc_19.html#SEC391.Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. xxx, 2000.Harris, J. W. 和 Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, 1998.Jeffrey, A. "Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions." §2.7 in Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 124-128, 2000.Sloane, N. J. A. Sequences A002595/M4233, A052468, A052469, 和 A055786 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "Inverse Trigonometric Functions." Ch. 35 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 331-341, 1987.Zwillinger, D. (Ed.). "Inverse Hyperbolic Functions." §6.8 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 481-483, 1995.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

反双曲正弦

引用为

Weisstein, Eric W. "反双曲正弦。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/InverseHyperbolicSine.html

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