黎曼曲面

黎曼曲面是一种类似曲面的结构，它覆盖了具有若干个，通常是无限多个“层”的复平面。这些层可以具有非常复杂的结构和相互连接（Knopp 1996，第 98-99 页）。黎曼曲面是表示多值函数的一种方式；另一种是分支切割。上面的图示显示了方程解的黎曼曲面

其中 、3、4 和 5，其中 是 Lambert W 函数 (M. Trott)。

函数域 的黎曼曲面 是 上非平凡离散赋值的集合。这里，集合 对应于 在 上的整数环 的理想。（ 由 的元素组成，这些元素是 上首一多项式的根。）黎曼曲面提供了函数元素及其解析延拓的几何可视化。

施瓦茨在十九世纪末证明了亏格 的紧黎曼曲面的自同构群是有限的，而 Hurwitz（1893）随后证明了其阶数最多为 （Arbarello 等，1985，第 45-47 页；Karcher 和 Weber 1999，第 9 页）。对于无限多个 ，可以达到这个界限，其中这种极值曲面的最小 为 3（对应于克莱因四次曲线）。然而，也已知存在无限多个亏格，对于这些亏格，界限 未达到（Belolipetsky 1997，Belolipetsky 和 Jones）。