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双曲函数

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双曲函数 sinhz, coshz, tanhz, cschz, sechz, cothz ( 双曲正弦 , 双曲余弦 , 双曲正切 , 双曲余割 , 双曲正割 , 和 双曲余切 ) 是 圆函数 的类似物，通过移除复指数中出现的 is 定义。例如，

cosz=1/2(e^(iz)+e^(-iz)),
(1)

所以

coshz=1/2(e^z+e^(-z)).
(2)

请注意，有时会使用替代符号，如下表所示。

f(x)替代符号
coshzchz (Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. xxvii)
cothzcthz (Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. xxvii)
sinhzshz (Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. xxvii)
tanhzthz (Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. xxvii)

双曲函数与相应的 圆函数 共享许多属性。事实上，正如 圆 可以参数化表示为

x=acost
(3)
y=asint,
(4)

等轴双曲线 （或更具体地说，其右分支）可以类似地表示为

x=acosht
(5)
y=asinht,
(6)

其中 cosht 是 双曲余弦 ，sinht 是 双曲正弦 。

双曲函数出现在许多数学和数学物理问题中，这些问题涉及包含 sqrt(1+x^2) 的积分（而 圆函数 涉及 sqrt(1-x^2) ）。例如， 双曲正弦 出现在圆柱体的引力势和洛希极限的计算中。 双曲余弦 函数是悬挂电缆的形状（所谓的 悬链线 ）。 双曲正切 出现在狭义相对论的计算和速动性中。所有这三个都出现在广义相对论中使用外部各向同性 Kruskal 坐标的 Schwarzschild 度量中。 双曲正割 出现在层流射流的轮廓中。 双曲余切 出现在磁极化的 Langevin 函数中。

双曲函数定义为

sinhz=(e^z-e^(-z))/2
(7)
=-sinh(-z)
(8)
coshz=(e^z+e^(-z))/2
(9)
=cosh(-z)
(10)
tanhz=(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z))
(11)
=(e^(2z)-1)/(e^(2z)+1)
(12)
cschz=2/(e^z-e^(-z))
(13)
sechz=2/(e^z+e^(-z))
(14)
cothz=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z))
(15)
=(e^(2z)+1)/(e^(2z)-1).
(16)

对于乘以 i 的参数，

sinh(iz)=isinz
(17)
cosh(iz)=cosz.
(18)

双曲函数满足许多类似于三角恒等式的恒等式（可以使用 奥斯本规则 推断），例如

cosh^2x-sinh^2x=1
(19)
coshx+sinhx=e^x
(20)
coshx-sinhx=e^(-x).
(21)

另请参见 Beyer (1987, p. 168)。

一些 半角公式 是

tanh(z/2)=(sinhx+isiny)/(coshx+cosy)
(22)
coth(z/2)=(sinhx-isiny)/(coshx-cosy),
(23)

其中 z=x+iy。

一些 倍角公式 是

sinh(2z)=2sinhzcoshz
(24)
cosh(2z)=2cosh^2z-1
(25)
=1+2sinh^2z.
(26)

复数 参数的恒等式包括

sinh(x+iy)=sinhxcosy+icoshxsiny
(27)
cosh(x+iy)=coshxcosy+isinhxsiny.
(28)

复数 参数的 绝对平方 为

|sinh(z)|^2=sinh^2x+sin^2y
(29)
|cosh(z)|^2=sinh^2x+cos^2y.
(30)

另请参见

倍角公式, 斐波那契双曲函数, 半角公式, 双曲余割, 双曲余弦, 双曲余切, 广义双曲函数, 双曲正割, 双曲正弦, 双曲正切, 反双曲函数, 奥斯本规则

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Hyperbolic Functions." §4.5 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 83-86, 1972.Anderson, J. W. "Trigonometry in the Hyperbolic Plane." §5.7 in Hyperbolic Geometry. New York: Springer-Verlag, pp. 146-151, 1999.Beyer, W. H. "Hyperbolic Function." CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 168-186 and 219, 1987.Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 126-131, 1967.Harris, J. W. and Stocker, H. "Hyperbolic Functions." Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, pp. 245-262, 1998.Jeffrey, A. "Hyperbolic Identities." §2.5 in Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 117-122, 2000.Yates, R. C. "Hyperbolic Functions." A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 113-118, 1952.Zwillinger, D. (Ed.). "Hyperbolic Functions." §6.7 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 476-481 1995.

在 Wolfram|Alpha 上引用

双曲函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "双曲函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HyperbolicFunctions.html

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