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逆双曲余弦

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逆双曲余弦 cosh^(-1)z (Beyer 1987, p. 181; Zwillinger 1995, p. 481)，有时称为面积双曲余弦 (Harris and Stocker 1998, p. 264) 是 多值函数，它是 反函数，指 双曲余弦 的反函数。

变体 Arccoshz 和 Arcoshz (Harris and Stocker 1998, p. 263) 有时用于指代逆切线的显式主值，尽管这种区分并不总是明确的。更糟糕的是，符号 arccoshz 有时用于主值，而 Arccoshz 用于多值函数 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 87)。该函数有时表示为 arccoshz (Abramowitz and Stegun 1972, p. 87; Jeffrey 2000, p. 124) 或 Archz (Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. xxx)。请注意，在符号 cosh^(-1)z 中，coshz 是双曲余弦，上标 -1 表示反函数，不是乘法逆元。

主值 cosh^(-1)z 在 Wolfram 语言中实现为ArcCosh[z]，在 GNU C 库中实现为acosh(double x)。

InverseHyperbolicCosineBranchCut

逆双曲余弦是一个多值函数，因此在复平面中需要分支切割，Wolfram 语言的约定将其放置在线段 (-infty,1)。这源于 cosh^(-1)z 的定义，即

cosh^(-1)z=ln(z+sqrt(z+1)sqrt(z-1)).
(1)

Gradshteyn 和 Ryzhik (2000, p. xxx) 给出了一个逆双曲余弦的版本，该版本仅在复平面 I[z]>0 的上半部分和 0<z<1 的情况下成立。相应的修正公式为

cosh^(-1)z={icos^(-1)z for 0<arg(z)<=pi or 0<z<1; -icos^(-1)z for I[z]<0 or z>1,
(2)

可以写成一般形式为

cosh^(-1)z=(sqrt(z-1))/(sqrt(1-z))cos^(-1)z
(3)

(Wolfram 函数站点)。

逆双曲余弦的导数为

d/(dz)cosh^(-1)z=1/(sqrt(z-1)sqrt(z+1)),
(4)

其不定积分为

intcosh^(-1)zdz=zcosh^(-1)z-(1+z)sqrt((z-1)/(z+1))+C.
(5)

对于实数 x>1，它满足

cosh^(-1)x=ln(x+sqrt(x^2-1)).
(6)

逆双曲余弦具有麦克劳林级数，

cosh^(-1)x=1/2pii-isum_(n=0)^(infty)((1/2)_n)/(n!(2n+1))x^(2n+1)
(7)
=1/2pii-ix-1/6ix^3-3/(40)ix^5-5/(112)ix^7-...
(8)

(OEIS A055786 和 A002595)，其中 (x)_n 是一个 Pochhammer 符号。

Puiseux 级数

cosh^(-1)x=sqrt(2(x-1))[1-1/(12)(x-1)+3/(160)(x-1)^2-5/(896)(x-1)^3+...]
(9)

(OEIS A055786 和 A091019) 关于 1，以及泰勒级数

cosh^(-1)x=-ln(x^(-1))+ln2-sum_(n=1)^(infty)((2n-1)!!)/(2n(2n)!!)x^(-2n)
(10)
=-ln(x^(-1))+ln2-1/4x^(-2)-3/(32)x^(-4)-5/(96)x^(-6)+...
(11)

(OEIS A052468 和 A052469)。

另请参阅

双曲余弦, 逆双曲函数

相关 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcCosh/

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). “逆双曲函数。” §4.6 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 86-89, 1972.Beyer, W. H. CRC 标准数学表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 142-143, 1987.GNU C Library. “数学：反三角函数。” https://gnu.ac.cn/manual/glibc-2.2.3/html_chapter/libc_19.html#SEC391.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. 积分表、级数表和乘积表，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, p. xxx, 2000.Harris, J. W. and Stocker, H. 数学和计算科学手册。 New York: Springer-Verlag, 1998.Jeffrey, A. “反三角函数和双曲函数。” §2.7 in 数学公式和积分手册，第 2 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 124-128, 2000.Sloane, N. J. A. 序列 A002595/M4233, A052468, A052469, A055786 和 A091019 in “整数序列在线百科全书。”Spanier, J. and Oldham, K. B. “反三角函数。” Ch. 35 in 函数图集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 331-341, 1987.Wolfram Functions Site. “ArcCosh。” http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcCosh/27/02/03/01/01/.Zwillinger, D. (Ed.). “逆双曲函数。” §6.8 in CRC 标准数学表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 481-483, 1995.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

逆双曲余弦

引用为

Weisstein, Eric W. “逆双曲余弦。” 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/InverseHyperbolicCosine.html

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