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反余割

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反余割是多值函数 csc^(-1)z (Zwillinger 1995, p. 465)，也表示为 arccscz (Abramowitz and Stegun 1972, p. 79; Spanier and Oldham 1987, p. 332; Harris and Stocker 1998, p. 315; Jeffrey 2000, p. 125)，它是 余割的反函数。变体 Arccscz (例如，Beyer 1987, p. 141; Bronshtein and Semendyayev, 1997, p. 70) 和 Csc^(-1)z 有时用于指代反余割的显式主值，尽管这种区分并不总是明确 (例如，Zwillinger 1995, p. 466)。更糟糕的是，符号 arccscz 有时用于主值，而 Arccscz 用于多值函数 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 80)。请注意，在符号 csc^(-1)z （在北美和全球袖珍计算器中常用）中，cscz 是余割，而上标 -1 表示反函数，不是 乘法逆元。

反余割的主值实现为ArcCsc[x] 在 Wolfram 语言中。

InverseCosecantBranchCut

反余割是多值函数，因此在复平面中需要支割线，Wolfram 语言的约定将其放置在 (-1,1)。这遵循 csc^(-1)z 的定义，即

csc^(-1)z=-iln(sqrt(1-1/(z^2))+i/z).
(1)

导数 csc^(-1)z 由下式给出

d/(dz)csc^(-1)z=-1/(z^2sqrt(1-1/(z^2))),
(2)

简化为

d/(dx)csc^(-1)x=-1/(xsqrt(x^2-1))
(3)

对于 x>0。其不定积分为

intcsc^(-1)zdz=zcsc^(-1)z+ln[z(1+sqrt((z^2-1)/(z^2)))]+C,
(4)

简化为

intcsc^(-1)xdx=xcsc^(-1)x+ln(x+sqrt(x^2-1))
(5)

对于 x>0。

反余割在无穷远处的泰勒级数为

csc^(-1)x=-sum_(n=1)^(infty)(i^(n+1)P_(n-1)(0))/nx^(-n)
(6)
=((1/2)_(n-1))/((n-1)!(2n-1))x^(1-2n)
(7)
=x^(-1)+1/6x^(-3)+3/(40)x^(-5)+5/(112)x^(-7)+...
(8)

(OEIS A055786 和 A002595)，其中 P_n(x) 是勒让德多项式，(x)_n 是泊赫哈默尔符号。

反余割满足

csc^(-1)z=sin^(-1)(1/z)
(9)

对于 z!=0，

csc^(-1)z=1/2pi-sec^(-1)z
(10)
=-1/2pi+sec^(-1)(-z)
(11)

对于所有复数 z，以及

csc^(-1)x={sec^(-1)(x/(sqrt(x^2-1)))-pi for x<-1; sec^(-1)(x/(sqrt(x^2-1))) for x>1
(12)
={-cos^(-1)((sqrt(x^2-1))/x) for x<-1; cos^(-1)((sqrt(x^2-1))/x) for x>1
(13)
={-cot^(-1)(sqrt(x^2-1)) for x<-1; cot^(-1)(sqrt(x^2-1)) for x>1.
(14)

另请参阅

余割, 反余弦, 反余切, 反正割, 反正弦, 反正切, 反三角函数, 正弦

相关 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcCsc/

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Inverse Circular Functions." §4.4 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 79-83, 1972.Beyer, W. H. CRC 标准数学表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 142-143, 1987.Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. 数学手册，第 3 版。 New York: Springer-Verlag, 1997.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. 积分、级数和乘积表，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, 2000.Harris, J. W. and Stocker, H. 数学和计算科学手册。 New York: Springer-Verlag, p. 315, 1998.Jeffrey, A. "Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions." §2.7 in 数学公式和积分手册，第 2 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 124-128, 2000.Sloane, N. J. A. Sequences A002595/M4233 and A055786 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. and Oldham, K. B. "Inverse Trigonometric Functions." Ch. 35 in 函数图集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 331-341, 1987.Zwillinger, D. (Ed.). "Inverse Circular Functions." §6.3 in CRC 标准数学表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 465-467, 1995.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

反余割

引用为

Weisstein, Eric W. "反余割。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/InverseCosecant.html

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