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艾森斯坦级数

一个具有 半周期比 tau 和指标 r 的艾森斯坦级数定义为

G_r(tau)=sum^'_(m=-infty)^inftysum^'_(n=-infty)^infty1/((m+ntau)^r),
(1)

其中求和 sum^(') 排除了 m=n=0, I[tau]>0, 且 r>2 是一个整数 (Apostol 1997, p. 12)。

艾森斯坦级数满足以下显著性质

G_(2r)((atau+b)/(ctau+d))=(ctau+d)^(2r)G_(2r)(tau)
(2)

如果矩阵 [a b; c d] 在 特殊线性群 SL_n(Z) 中 (Serre 1973, pp. 79 和 83)。 因此，G_(2r) 是权重为 2r 的模形式 (Serre 1973, p. 83)。

此外，每个艾森斯坦级数都可以表示为椭圆不变量 g_2 和 g_3 的多项式，这些椭圆不变量是具有正有理系数的魏尔斯特拉斯椭圆函数的椭圆不变量 (Apostol 1997)。

艾森斯坦级数满足

G_(2k)(tau)=2zeta(2k)+(2(2pii)^(2k))/((2k-1)!)sum_(n=1)^inftysigma_(2k-1)(n)e^(2piintau),
(3)

其中 zeta(z) 是黎曼zeta函数，sigma_k(n) 是除数函数 (Apostol 1997, pp. 24 和 69)。 将nome q 写成

q=e^(pitaui)=e^(-piK^'(k)/K(k))
(4)

其中 K(k) 是第一类完全椭圆积分, K^'(k)=K(sqrt(1-k^2)), k 是椭圆模量, 并定义

E_(2k)(q)=(G_(2k)(tau))/(2zeta(2k)),
(5)

我们有

E_(2n)(q)=1+c_(2n)sum_(k=1)^(infty)(k^(2n-1)q^(2k))/(1-q^(2k))
(6)
=1+c_(2n)sum_(k=1)^(infty)sigma_(2n-1)(k)q^(2k).
(7)

其中

c_(2n)=((2pii)^(2n))/((2n-1)!zeta(2n))
(8)
=(-1)^n((2pi)^(2n))/(Gamma(2n)zeta(2n))
(9)
=-(4n)/(B_(2n)),
(10)

其中 B_n 是伯努利数。 对于 n=1, 2, ..., c_(2n) 的前几个值是 -24, 240, -504, 480, -264, 65520/691, ... (OEIS A006863 和 A001067)。

因此，E_(2n)(q) 的前几个值是

E_2(q)=1-24sum_(k=1)^(infty)sigma_1(k)q^(2k)
(11)
E_4(q)=1+240sum_(k=1)^(infty)sigma_3(k)q^(2k)
(12)
E_6(q)=1-504sum_(k=1)^(infty)sigma_5(k)q^(2k)
(13)
E_8(q)=1+480sum_(k=1)^(infty)sigma_7(k)q^(2k)
(14)
E_(10)(q)=1-264sum_(k=1)^(infty)sigma_9(k)q^(2k)
(15)
E_(12)(q)=1+(65520)/(691)sum_(k=1)^(infty)sigma_(11)(k)q^(2k)
(16)
E_(14)(q)=1-24sum_(k=1)^(infty)sigma_(13)(k)q^(2k),
(17)

(Apostol 1997, p. 139)。 拉马努金使用了符号 P(z)=E_2(sqrt(z)), Q(z)=E_4(sqrt(z)), 和 R(z)=E_6(sqrt(z)), 这些函数满足以下微分方程组

thetaP=1/(12)(P^2-Q)
(18)
thetaQ=1/3(PQ-R)
(19)
thetaR=1/2(PR-Q^2)
(20)

(Nesterenko 1999)，其中 theta=zd/dz 是微分算子。

E_(2n)(q) 也可以用第一类完全椭圆积分 K(k) 表示为

E_4(q)=[(2K(k))/pi]^4(1-k^2k^('2))
(21)
E_6(q)=[(2K(k))/pi]^6(1-2k^2)(1+1/2k^2k^('2))
(22)

(Ramanujan 1913-1914)，其中 k 是椭圆模量。 拉马努金使用符号 M(q) 和 N(q) 分别指代 E_4(q) 和 E_6(q)。

漂亮的公式由下式给出

E_4(q)=1/2[theta_2^8(q)+theta_3^8(q)+theta_4^8(q)]
(23)
E_8(q)=1/2[theta_2^(16)(q)+theta_3^(16)(q)+theta_4^(16)(q)],
(24)

其中 theta_n(q)=theta_n(0,q) 是雅可比theta函数。

下表给出了前几个偶数 n 的艾森斯坦级数 E_n(q)。

nOEIS格E_n(q)
2A0063521-24q^2-72q^4-96q^6-168q^8-...
4A004009E_81+240q^2+2160q^4+6720q^6+...
6A0139731-504q^2-16632q^4-122976q^6-...
8A008410E_8 direct sum E_81+480q^2+61920q^4+1050240q^6+...
10A0139741-264q^2-135432q^4-5196576q^6-...

符号 L(q) 有时用于指代密切相关的函数

L(q)=1+24sum_(k=1)^(infty)sigma_1^((o))(n)(-1)^kq^k
(25)
=1-24sum_(k=1)^(infty)((2k-1)q^(2k-1))/(1+q^(2k-1))
(26)
=theta_4^4(q)-theta_2^4(q)
(27)
=[(2K(k))/pi]^2(1-2k^2)
(28)
=1-24q+24q^2-96q^3+...
(29)

(OEIS A103640)，其中 theta_i(q) 是雅可比椭圆函数，并且

sigma_1^((o))(n)=sum_(d|n; d odd)d
(30)

是奇除数函数 (Ramanujan 2000, p. 32)。

另请参阅

除数函数, 椭圆不变量, 克莱因绝对不变量, 李奇格, 圆周率, Theta级数, 魏尔斯特拉斯椭圆函数

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参考文献

Apostol, T. M. "The Eisenstein Series and the Invariants g_2 and g_3" and "The Eisenstein Series G_2(tau)." §1.9 和 3.10 in Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 2nd 版. New York: Springer-Verlag, pp. 12-13 和 69-71, 1997.Borcherds, R. E. "Automorphic Forms on O_(s+2,2)(R)^+ and Generalized Kac-Moody Algebras." In Proc. Internat. Congr. Math., Vol. 2. pp. 744-752, 1994.Borwein, J. M. and Borwein, P. B. "Class Number Three Ramanujan Type Series for 1/pi." J. Comput. Appl. Math. 46, 281-290, 1993.Bump, D. Automorphic Forms and Representations. Cambridge, England: 剑桥大学出版社, p. 29, 1997.Conway, J. H. and Sloane, N. J. A. Sphere Packings, Lattices, and Groups, 2nd 版. New York: Springer-Verlag, pp. 119 和 123, 1993.Coxeter, H. S. M. "Integral Cayley Numbers."The Beauty of Geometry: Twelve Essays. New York: Dover, pp. 20-39, 1999.Gunning, R. C. Lectures on Modular Forms. Princeton, NJ: 普林斯顿大学出版社, p. 53, 1962.Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd 版. New York: Chelsea, p. 166, 1999.Milne, S. C. "Hankel Determinants of Eisenstein Series." 13 Sep 2000. http://arxiv.org/abs/math.NT/0009130.Nesterenko, Yu. V. A Course on Algebraic Independence: Lectures at IHP 1999. 未发表的手稿. 1999.Ramanujan, S. "Modular Equations and Approximations to pi." Quart. J. Pure Appl. Math. 45, 350-372, 1913-1914.Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.Serre, J.-P. A Course in Arithmetic. New York: Springer-Verlag, 1973.Shimura, G. Euler Products and Eisenstein Series. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997.Sloane, N. J. A. Sequences A001067, A004009/M5416, A006863/M5150, A008410, A013973, A013974, and A103640 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 中被引用

艾森斯坦级数

引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "艾森斯坦级数。" 来自 MathWorld-- Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EisensteinSeries.html

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