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二次域

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形如 代数整数 的形式 a+bsqrt(D)，其中 D 是 无平方因子 的数，构成一个二次域，记为 Q(sqrt(D))。如果 D>0，则该域称为实二次域；如果 D<0，则该域称为虚二次域。Q(sqrt(1)) 中的整数简称为“整数”。Q(sqrt(-1)) 中的整数称为 高斯整数，而 Q(sqrt(-3)) 中的整数称为 艾森斯坦整数。任意二次域中的代数整数不一定具有唯一的因子分解。例如，域 Q(sqrt(-5)) 和 Q(sqrt(-6)) 不是唯一可分解的，因为

21=3·7=(1+2sqrt(-5))(1-2sqrt(-5))
(1)
6=-sqrt(-6)(sqrt(-6))=2·3,
(2)

尽管以上因子在这些域中都是素数。所有其他满足 |D|<=7 的二次域 Q(sqrt(D)) 是唯一可分解的。

二次域服从以下恒等式

(a+bsqrt(D))+/-(c+dsqrt(D))=(a+/-c)+(b+/-d)sqrt(D)
(3)
(a+bsqrt(D))(c+dsqrt(D))=(ac+bdD)+(ad+bc)sqrt(D),
(4)

和

(a+bsqrt(D))/(c+dsqrt(D))=(ac-bdD)/(c^2-d^2D)+(bc-ad)/(c^2-d^2D)sqrt(D).
(5)

实域 Q(sqrt(D)) 中的整数的形式为 r+srho，其中

rho={sqrt(D) for D=2 or D=3 (mod 4); 1/2(-1+sqrt(D)) for D=1 (mod 4).
(6)

恰好有 21 个二次域存在 欧几里得算法，对应于 无平方因子 的整数 -11, -7, -3, -2, -1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57 和 73 (A048981)。这个列表由 Inkeri (1947) 发表，但错误地包含了额外的伪项 97 (Barnes 和 Swinnerton-Dyer 1952; Hardy 和 Wright 1979, p. 217)。

参见

代数整数, 艾森斯坦整数, 高斯整数, 虚二次域, 整数, 数域, 二次, 实二次域

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参考文献

Barnes, E. S. 和 Swinnerton-Dyer, H. P. F. "二元二次型的非齐次最小值. I." 数学学报 87, 259-323, 1952.Berg, E. Fysiogr. Sällsk. Lund. Föhr. 5, 1-6, 1935.Chatland, H. "二次数域中的欧几里得算法." 美国数学学会公报 55, 948-953, 1949.Chatland, H. 和 Davenport, H. "实二次域中的欧几里得算法." 加拿大数学杂志 2, 289-296, 1950.Hardy, G. H. 和 Wright, E. M. "实欧几里得域" 和 "实欧几里得域 (续)." §14.8 和 14.9 in 数论导论，第 5 版。 牛津，英格兰：克拉伦登出版社，pp. 213-217, 1979.Inkeri, K. "关于二次数域中的欧几里得算法." 芬兰科学院学报。A. 1. 数学-物理学, No. 41, 1-35, 1947.Koch, H. "二次数域." Ch. 9 in 数论：代数数和函数。 普罗维登斯，罗德岛州：美国数学学会，pp. 275-314, 2000.LeVeque, W. J. 数论主题，卷 2。 雷丁，马萨诸塞州：艾迪生-韦斯利出版社，p. 57, 1956.Oppenheim. 数学年鉴 109, 349-352, 1934.Samuel, P. "唯一分解." 美国数学月刊 75, 945-952, 1968.Stark, H. M. 数论导论。 剑桥，马萨诸塞州：麻省理工学院出版社，p. 294, 1994.Shanks, D. 数论中已解决和未解决的问题，第 4 版。 纽约：切尔西出版社，pp. 153-154, 1993.Sloane, N. J. A. 序列 A048981 in "整数序列在线百科全书。"

在 Wolfram|Alpha 中引用

二次域

引用为

Weisstein, Eric W. "二次域." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/QuadraticField.html

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