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克莱因绝对不变量

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设 omega_1 和 omega_2 是一个双周期函数的周期，其中 tau=omega_2/omega_1 是半周期比率，且满足 I[tau]!=0。那么克莱因绝对不变量（也称为克莱因模函数）定义为

J(omega_1,omega_2)=(g_2^3(omega_1,omega_2))/(Delta(omega_1,omega_2)),
(1)

其中 g_2 和 g_3 是魏尔斯特拉斯椭圆函数的不变量，具有模判别式

Delta=g_2^3-27g_3^2
(2)

(克莱因 1877)。如果 tau in H, 其中 H 是上半平面, 则

J(tau)=J(1,tau)=J(omega_1,omega_2)
(3)

是仅关于比率 tau 的函数，g_2, g_3, 和 Delta 也是如此。此外，g_2(tau), g_3(tau), Delta(tau), 和 J(tau) 在 H 中是解析的 (Apostol 1997, p. 15)。

克莱因绝对不变量在 Wolfram 语言中实现为KleinInvariantJ[tau]。

函数 J(tau) 与 j-函数相同，模一个常数乘法因子。

每个 J 的有理函数都是模函数，并且每个模函数都可以表示为 J 的有理函数 (Apostol 1997, p. 40)。

克莱因不变量可以显式地由下式给出

J(tau)=4/(27)([1-lambda(tau)+lambda^2(tau)]^3)/(lambda^2(tau)[1-lambda(tau)]^2)
(4)
=([E_4(tau)]^3)/([E_4(tau)]^3-[E_6(tau)^2])
(5)

(克莱因 1878-1879，科恩 1994)，其中 lambda(tau) 是椭圆 lambda 函数

lambda(tau)=[(theta_2(0,q))/(theta_3(0,q))]^4,
(6)

theta_i(0,q) 是雅可比 theta 函数，E_i(tau) 是艾森斯坦级数，并且 q 是 nome。克莱因不变量也可以用五个韦伯函数 f(tau), f_1(tau), f_2(tau), gamma_2(tau), 和 gamma_3(tau) 简单地表示。

J(tau) 在单模变换下是不变的，因此

J((atau+b)/(ctau+d))=J(tau),
(7)

并且 J(tau) 是一个模函数。J(tau) 取以下特殊值

J(rho=e^(2pii/3))=0
(8)
J(i)=1
(9)
J(iinfty)=infty.
(10)

J(tau) 满足以下函数方程

J(tau)=J(tau+1)
(11)
J(tau)=J(-1/tau).
(12)

它满足许多优美的多参数恒等式，包括倍增公式

J(tau)=f(t)
(13)
J(2tau)=f(1/t)
(14)

其中

t=1/(64)[(eta(tau))/(eta(2tau))]^(24)
(15)
f(u)=((u+4)^3)/(27u^2)
(16)

并且 eta(z) 是戴德金 eta 函数，三倍增公式

J(tau)=g(t)
(17)
J(3tau)=g(1/t),
(18)

其中

t=1/(27)[(eta(tau))/(eta(3tau))]^(12)
(19)
g(u)=((u+1)(u+9)^3)/(64u^3),
(20)

和五倍增公式

1728J(tau)=h(t)
(21)
1728J(5tau)=h(5/t),
(22)

其中

t=1/5[(eta(tau))/(eta(5tau))]^6
(23)
h(u)=(5(u^2+50u+125)^3)/(u^5).
(24)
KleinsAbsoluteInvariantPic

在复平面中绘制 J(tau) 的实部或虚部会产生美丽的类似分形的结构，如上图所示。

另请参阅

椭圆 Lambda 函数, 艾森斯坦级数, j-函数, 雅可比 Theta 函数, Pi, 韦伯函数

相关的 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/KleinInvariantJ/

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参考文献

Apostol, T. M. "克莱因模函数 J(tau)," "J 在单模变换下的不变性," "Delta(tau) 和 J(tau) 的傅里叶展开," "J 的特殊值," 和 "模函数作为 J 的有理函数." §1.12-1.13, 1.15, 和 2.5-2.6 in Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 15-18, 20-22, 和 39-40, 1997.Brezhnev, Y. V. "均匀化：关于 Burnside 曲线 y^2=x^5-x." 9 Dec 2001. http://arxiv.org/abs/math.CA/0111150.Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 115 和 179, 1987.Cohn, H. Introduction to the Construction of Class Fields. New York: Dover, p. 73, 1994.Klein, F. "Sull' equazioni dell' Icosaedro nella risoluzione delle equazioni del quinto grado [关于椭圆函数]." Reale Istituto Lombardo, Rendiconto, Ser. 2 10, 1877.Klein, F. "Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades." Math. Ann. 14, 111-172, 1878-1879.Nesterenko, Yu. V. A Course on Algebraic Independence: Lectures at IHP 1999. Unpublished manuscript. 1999.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

克莱因绝对不变量

请引用为

Weisstein, Eric W. "克莱因绝对不变量。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/KleinsAbsoluteInvariant.html

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