三角函数角 -- Pi/9

角为 弧度的三角函数，其中 是一个不能被 3 整除的整数（例如， 和 ），不能用有理数的加、减、乘、除和有限次开方运算来表示，因为 9 不是不同的费马素数的乘积。 这也意味着正九边形不是可作图多边形。

然而，仍然可以使用三角恒等式推导出涉及复数根的精确表达式

(1)

设 且 。那么上面的恒等式给出了三次方程

(2)

(3)

这个三次方程的形式为

(4)

其中

			(5)
			(6)

那么，多项式判别式为

(7)

因此有三个不同的实根，近似值分别为 、0.3420 和 0.6428。 我们想要第一象限的那个，近似值为 0.3420。

			(8)
			(9)
			(10)
			(11)

类似地，

			(12)
			(13)

因为韦达定理，我们有以下恒等式

(14)

(15)

(16)

(15) 被称为莫里定律。

拉马努金发现了有趣的恒等式

(17)

(Borwein and Bailey 2003, p. 77; Trott 2004, p. 64)。