三角学角度 -- Pi/7

对于 为整数， 的三角函数不能用实有理数的和、积和有限次 开方 来表示，因为 7 不是 费马素数。 这也意味着 七边形 不是 可作图多边形。

然而，涉及复数根的精确表达式仍然可以推导出来，可以使用三角恒等式

(1)

与 或通过用复指数表示 并简化所得表达式来推导。 令 表示多项式 的 次根，使用 Wolfram 语言 的排序根函数给出了以下以代数根表示的三角函数，其自变量为 ，

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其自变量为 ，

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及其自变量为 ，

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根和 Galois 最小表达式可以使用诸如以下 Wolfram 语言 代码获得

  RootReduce[TrigToRadicals[Sin[Pi/7]]]
  Developer`TrigToRadicals[Sin[Pi/7]]

函数的组合满足

			(20)
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（Bankoff 和 Garfunkel 1973）。 和恒等式由下式给出

(23)

另一个有趣的恒等式由下式给出

(24)

（Borwein 和 Bailey 2003，第 77 页）。