对于 
的三角函数，当 
为整数时，不能用实有理数的和、积和有限次开方来表示，因为 11 不是费马素数。这也意味着正十一边形不是可作图多边形。
然而，涉及复数根的精确表达式仍然可以使用多倍角公式推导出来
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(1)
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其中 
是第一类切比雪夫多项式。代入 
得到
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(2)
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令 
和 
则得到
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(3)
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但是这个五次方程有一个循环伽罗瓦群，因此 
，以及 
，可以用根式（复数的根式）表示。显式表达式非常复杂，但可以使用 Wolfram 语言生成，通过Developer`TrigToRadicals[Sin[Pi/11]].
... 的三角函数可以显式地表示为多项式的根
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(4)
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从牛顿-吉拉德公式之一，
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... 的三角函数也服从以下恒等式
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