费马数

费马数的定义有两种。不太常见的一种是形如 of the form 的数，通过在 Fermat polynomial 费马多项式中设置获得，其中前几个是 3, 5, 9, 17, 33, ... (OEIS A000051)。

更常见的费马数是一个特例，由形如 binomial number of the form 的二项式数给出。对于 , 1, 2, ...，前几个是 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, ... (OEIS A000215)。费马数的 digits 位数是

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对于 , 1, ...，的位数因此是 1, 1, 2, 3, 5, 10, 20, 39, 78, 155, 309, 617, 1234, ... (OEIS A057755)。对于 , 1, ...，的位数是 1, 309, 381600854690147056244358827361, ... (OEIS A114484)。

成为费马数是一个数成为 necessary 必要 (但不是 sufficient 充分) 的形式

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素数的必要（但非充分）条件。这可以通过注意到如果是 prime 素数，那么不能有任何 odd 奇数因子，否则将是形如 of the form 的可分解数

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因此，对于 prime 素数，必须是 2 的 power 幂。任意两个费马数都没有大于 1 的公约数（Hardy 和 Wright 1979, p. 14）。

费马在 1650 年猜想每个费马数都是 prime 素数，而艾森斯坦在 1844 年提出了一个问题，即证明存在无限多个费马素数（Ribenboim 1996, p. 88）。然而，目前仅已知 composite 合数费马数，其中。一位匿名作者提出形如 of the form , , 的数是 prime 素数。然而，当 Selfridge (1953) 证明

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是 composite 合数时，这个猜想被驳斥（Ribenboim 1996, p. 88）。

唯一已知的 Fermat primes 费马素数是

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(OEIS A019434)，并且似乎不太可能使用当前的计算方法和硬件找到更多。

由于费马数非常大，因此分解它们极其困难。事实上，截至 2022 年，只有到已被完全分解。对于 , 1, 2, ...，费马数的因子数是 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, ... (OEIS A046052)。显式写出，完全分解是

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(OEIS A050922)。这里，最终的大 prime 素数没有明确给出，因为它可以通过将除以其他给定的因子来计算。

费马数的最小因子是 5, 17, 257, 65537, 641, 274177, 59649589127497217, 1238926361552897, 2424833, ... (OEIS A093179)，而最大因子是 5, 17, 257, 65537, 6700417, 67280421310721, 5704689200685129054721, (OEIS A070592)。

下表总结了这些完全分解的费马数的性质。其他已知费马数因子的表格由 Keller (1983), Brillhart et al. (1988), Young 和 Buell (1988), Riesel (1994), 以及 Pomerance (1996) 给出。Keller 维护着当前已知的费马数因子列表。在这些表格中，由于所有因子都形如 of the form ，因此已知因子以简洁的形式表示。

	位数	因子	位数	参考文献
5	10	2	3, 7	Euler 1732
6	20	2	6, 14	Landry 1880
7	39	2	17, 22	Morrison and Brillhart 1975
8	78	2	16, 62	Brent and Pollard 1981
9	155	3	7, 49, 99	Manasse and Lenstra (In Cipra 1993)
10	309	4	8, 10, 40, 252	Brent 1995
11	617	5	6, 6, 21, 22, 564	Brent 1988

截至 2022 年，已知有 6 个因子，剩余 C1133 （其中 C 表示一个有位的合数），已知有 4 个因子，剩余 C2391，已知有 1 个因子，剩余 C4880 (Keller)。

在 1980 年代初期，已知对于所有，是合数，例外情况是 , 22, 24, 28 和 31 (Riesel 1994, Crandall et al. 2003)。Young 和 Buell (1988) 发现是 composite 合数，Crandall et al. (1995) 发现是 composite 合数，Crandall et al. (2003) 发现是 composite 合数 (Crandall 1999; Borwein and Bailey 2003, pp. 7-8; Crandall et al. 2003)。1997 年，Taura 找到了的一个小因子 (Crandall et al. 2003, Keller)，并且也找到了的一个小因子。截至 2022 年，已知对于所有，是合数（参见 Crandall et al. 2003）。

目前有两个已知的费马数是合数，但尚未知晓它们的任何单个因子：和 (Keller; 参见 Crandall et al. 2003)。

Ribenboim (1996, pp. 89 和 359-360) 将 generalized Fermat numbers 广义费马数定义为形如 of the form 且为偶数的数，而 Riesel (1994, pp. 102 和 415) 更广泛地将它们定义为形如的数。

费马数满足 recurrence relation 递推关系

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可以证明是 prime 素数，当且仅当它满足 Pépin's test Pépin 检验。Pépin's theorem Pépin 定理

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也是 necessary 必要且 sufficient 充分的。

1770 年，欧拉证明了的任何 factor 因子都必须具有以下形式

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其中是一个 positive integer 正整数。1878 年，卢卡斯将 2 的指数增加了一个，表明费马数的 factors 因子必须是形如 of the form

(22)

对于。因此，费马数的因子是 Proth primes Proth 素数，因为它们是形如的形式，只要它们也满足附加条件为奇数且。

如果

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是的因子部分（其中是要测试素性的余因子），计算

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那么如果，则余因子是基的 probable prime 可能素数；否则是 composite 合数。

为了使一个 polygon 多边形能够外切于一个 circle 圆（即，一个 constructible polygon 可作图多边形），它必须具有边数，其形式为

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其中是非负整数，是零个或多个不同的费马素数（如高斯所述，并由 Wantzel 1836 年首次发表）。这等价于以下陈述：三角函数 , 等，可以用有限次数的加法、乘法和平方根运算来计算，iff 当且仅当是上述形式时。

对于 , 2, ...， ${F_k,F_(k+1),...}$ 的最后位数字（其中是使得具有位的最小整数）最终是周期性的，周期分别为 1, 4, 20, 100, 500, 2500, ... (OEIS A005054; Koshy 2002-2003)。

另请参阅

Cullen Number, Fermat Polynomial, Fermat Prime, Generalized Fermat Number, Near-Square Prime, Pépin's Test, Pépin's Theorem, Pocklington's Theorem, Polygon, Proth Prime, Proth's Theorem, Selfridge-Hurwitz Residue, Woodall Number

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参考文献

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在 Wolfram|Alpha 中被引用

费马数

请引用为

韦斯坦, 埃里克·W. "Fermat Number." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FermatNumber.html