三角学角度--Pi/13

对于 的三角函数，其中 是整数，不能用实有理数的和、积和有限开方来表示，因为 13 不是费马素数。 这也意味着十三边形不是可作图多边形。

然而，使用多倍角公式，仍然可以推导出涉及复数根的精确表达式

(1)

其中 是第一类切比雪夫多项式。 代入 得到

(2)

令 和 则得到

(3)

但这是一个六次方程，具有循环伽罗瓦群，因此 ，以及因此 ，可以用根式（复数的根式）表示。 显式表达式非常复杂，但可以使用 Wolfram 语言 生成，使用Developer`TrigToRadicals[Sin[Pi/13]].

对于 的三角函数，可以显式地表示为多项式根

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从牛顿-吉拉德公式之一，

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对于 的三角函数，也服从以下恒等式

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（P. Rolli，私人通讯，2004 年 12 月 27 日）。