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三角函数角--π/5

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关于 pi/5 的三角公式可以使用多倍角公式推导得出

sin(5theta)=5sintheta-20sin^3theta+16sin^5theta.
(1)

设 theta=pi/5 且 x=sintheta 则得到

sinpi=0=5x-20x^3+16x^5.
(2)

提取公因式 x 后得到

16x^4-20x^2+5=0.
(3)

求解关于 x^2 的二次方程得到

x^2=1/8(5+/-sqrt(5)).
(4)

但是 x=sin(pi/5) 必须小于

sin(pi/4)=1/2sqrt(2),
(5)

因此取负号并化简得到

sin(pi/5)=sqrt((5-sqrt(5))/8)=1/4sqrt(10-2sqrt(5)).
(6)
TrigonometryAnglesPi5

补全剩余的三角函数则得到

cos(pi/5)=1/4(1+sqrt(5))
(7)
cot(pi/5)=1/5sqrt(25+10sqrt(5))
(8)
csc(pi/5)=1/5sqrt(50+10sqrt(5))
(9)
sec(pi/5)=sqrt(5)-1
(10)
sin(pi/5)=1/4sqrt(10-2sqrt(5))
(11)
tan(pi/5)=sqrt(5-2sqrt(5))
(12)

和

cos((2pi)/5)=1/4(-1+sqrt(5))
(13)
cot((2pi)/5)=1/5sqrt(25-10sqrt(5))
(14)
csc((2pi)/5)=1/5sqrt(50-10sqrt(5))
(15)
sec((2pi)/5)=1+sqrt(5)
(16)
sin((2pi)/5)=1/4sqrt(10+2sqrt(5))
(17)
tan((2pi)/5)=sqrt(5+2sqrt(5)).
(18)

另请参阅

正十二面体, 黄金比例, 正二十面体, 五边形, 五角星, 三角函数角, 三角学

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请引用为

Weisstein, Eric W. "三角函数角--π/5。" 来自 —— 资源。 https://mathworld.net.cn/TrigonometryAnglesPi5.html

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