伽罗瓦群

令 为 的扩域，记作 ，令 为 的自同构集合，即 的自同构 集合，使得对于每个 中的 ，从而 被固定。则 是 的变换群，称为 的伽罗瓦群。 的伽罗瓦群记作 或 。

令 为 次有理多项式，令 为 在 上的分裂域，即包含 的所有根的 的最小子域。那么伽罗瓦群 的每个元素以唯一的方式置换 的根。因此， 可以被视为对称群 的子群， 是 的根的置换群。如果 是不可约的，那么 是 的传递子群，即给定 的两个根 和 ，存在 的元素 使得 。

的根可以通过根式求解 当且仅当 是一个可解群。由于 的所有 的子群都是可解的，因此所有次数不超过 4 的多项式的根都可以通过根式求解。然而，次数为 5 或更高的多项式通常不能通过根式求解，因为对于 ，（以及交错群 ）不是可解的。

逆伽罗瓦问题询问是否每个有限群都同构于某个数域 的伽罗瓦群 。

的伽罗瓦群由单位元和复共轭组成。这些函数都将给定的实数映射到相同的实数。